6

: Растяжение и сжатие материала механизмов.

1. Цель работы. Ознакомиться с основными понятиями и терминологией раздела Сопротивление материалов

Усвоить основные расчетные формулы по растяжения и сжатия материалов. Усвоить, что такое допускные напряжения и условия прочности и жесткости конструкции.

2 Типовые задачи. Задача № 1. Проверить прочность тяги ВС, Материал-сталь Ст3, допустимое напряжение [σ] = 160 МПа.

Рис.1.

Решение: Продольную силу N, возникающую в произвольном поперечном сечении тяги определим, применив метод сечения и рассматриваем равновесие балки АD.

Σ М А = 0;Fl — (N sin α) a = 0,

Откуда N = Fl / a sin α; подставив численные значения, получим

N = 40х2, 5 / (2.0х sin 300) = 100 кН.

Напряжение в поперечном сечении тяги

Σ = = = 162х106 Па = 162 МПа

Где плоскость поперечного сечения одного равностороннего угилка 40х40х4 А1 = 3,08 см2. Плоскость сечения тяги А = 2А1. напряжение выше допустимого всего на 1,25%, значит прочность тяги обеспечена.

Задача № 2. Подсчитать прирост длины стального стержня ступенчатого сечения, показанного на рис. 2, если l1 = 50 см, l2 = 80 см, l3 = 40 см, l4 = 60 см; Е = 2х105 МПа (2х106кгс/см2) F1 = 10см2; F2 = 20 см2.

Решения. из условия равновесия нижней отсеченной части находим внутренние усилия в сечениях I-I, II — II, III — III, N1 = P1 = 2kH (200кгс) N2 = P1 — P2 = 2 — 5 =-3кн (-300 кгc) N3 = P1 — P2 + Р3 = 2 — 5 + 3 = 4 кН (400 кгc).

На рис.2б показано эпюру N (в кгc). Полное удлинение стержня определим как сумму удлинение отдельных его участков;

Δĺ = = =-4х10-6м, =-4х10-4см.

Задача 1.1.

Расчет стержня ступенчатое — переменного сечения при растяжении — сжатии.

Построить эпюры продольных сил и напряжений.

Модуль упругости Е = 2.105 МПа.

Р = 150 Н, a = 1,5 м, q = 56 н / м, F = 700 мм2.

Решение.

Сначала определим реакцию защемления, направляя ось от защемления вдоль стержня. Условия равновесия: -R + P + P + 2a · 3q + 2aq = 0;

R = 2P + 8aq = 300 +12 · 6 = 972H.

Далее находим закон изменения продольных усилий N (x) на каждой из трех участков (I, II, III).

В пределах каждого участка усилия N (x) определены методом сечений, рассматривая равновесие части стержня, оставшейся после отсечки на некотором текучей расстоянии Х.

III участок.

NIII (x) = qx;

NIII (0) = 0;

NIII (2a) = aq = 56.1, 5 = 84H.

I участок.

NI (x) = R-3qx;

NI (0) = R = 972H;

NI (2a) = R-6aq = 468H. I участок.

NII (x) = R-P-6aq-q (x-2a)

NII (2a) = 318H;

NII (3a) = 318-84 = 234H.

Строим эпюру N (x) по найденным значением. Для эпюры напряжений вычисляем напряжение на предельных сечениях.

Н/мм2; Н/мм2;

Н/мм2;Н/мм2;

Н/мм2;

Строим эпюру σ. Откладываем значение σ'103 МПа.

Задача 1.2.

Определение усилий и перемещений в статически определенной стержневой конструкции.

Дано:

Е = 2.105 МПа, l2 = 0,8 м, l1 = 0,6 м, l3 = 0,9 м, Р = 10 кН;

В стержневой конструкции, нагруженная силой Р = 10 кН, следует определить усилия, перемещения и подобрать номер равнополочный угла (ГОСТ 8509-72).

Решение.

Направив реакции стержней N1, N2, N3 вдоль их продольных осей, рассмотрим три условия равновесия статики.

Используем основную форму равновесия плоской системы сил.

SFkx = N3 + N2sin30 °-N1sin30 ° = 0;

SFky = — P-N1cos30 °-N2cos30 ° = 0;

SMAi =-P (AB)-N3 (BC) = 0.

Из последнего уравнения получим:

  КH.

Знак — говорит о том, что стержень 3 в действительности сжатый, а не растянут.

N2-N1 =-2N3 = 34,6

N2 + N1 = -11,6

2N2 = 23кH; N2 = 11,5 кН.

N1 = -11,6 -11,5 = -23,1 кН.

Стержень 1 сжат.

По максимально нагруженном стержню | N1 | = Nmax = 23,1 kH определим минимально допустимую площадь сечения.

См2.

По сортамента ГОСТ 8509-72 подбираем уголок с размером 28ь28ь3 и площадью поперечного сечения F = 1,62 см2.

Процент недогрузки Dσ% =

КH/см2.

Согласно закону Гука для абсолютных удлиненной определяем удлинение (укорочение) стержнейСм = -0,42 мм.

См = -0,28 мм.

См = -0,48 мм.

Задача 2.1.

Расчет балки на изгиб.

Для заданной балки нужно выполнить:

1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. подобрать по ГОСТ двутавровое сечение из условия прочности, если допустимое напряжение [σ] = 150Мпа.

3. Подобрать прямоугольное (h = 2b), считая балку деревянной ([σ] = 10Мпа).

4. Построить Эпюру нормальных напряжений в наиболее опасном сечении (П2).

5. Для балки по П3 определить максимальное касательное напряжение.

Принять а = 3,5 м, Р = 20 кН, q = 20кН / м, М = 90кНм.

Решение.

1. Реакции опор из условий равновесия статики.

SМВ = 0; Р × 14 + М-RA × 7 = 0; RA = 2Р += 52,86 кН

SМА = 0; Р × 7 + М + RВ × 7-2aq × 7 = 0; RB = 2aq-Р-= 107,14 кН

Проверка SFky = 0; RA + RB-Р-= 0

52,86 +107,14-140 = 0. Реакции найдены верно.

2. Эпюру поперечных сил строим по характерным сечениям.

QAмв = — Р = — 20кН

QAпр = — Р + RA = -20 +52,86 = 32,86 кН

QВмв = — Р + RA — aq = 20 +52,86 — 70 = -37,14 кН

QВпр = aq = 70 кН.

Строим эпюру Q, масштаб μQ = 20 кН / см.

3. Моменты в характерных сечениях.

На концах балки М = 0.

Д, лев = — Pa = — 70кНм;

Д, лев = — Pa — М = — 70 — 90 = — 160кНм;

МА = — P × 2а — М = — 140 — 90 = — 230кНм;

МС =-2aq × а + RВ × а = — 140 × 3,5 +108 × 3,5 = — 133кНм;

МВ =-aq × 0,5 А = — 70 × 1,75 = — 122,5 кНм.

Находим Хекстра. =М.

В этом сечении Мекстр. = 107,14 × 1,852-20 (3,5 +1,852) ×КНм.

Строим эпюру изгибающих моментов. Масштаб мкм = 50 кНм / см.

На участках, где q ¹ 0, эпюра М — парабола, потому .

4. Наиболее опасным сечением является сечение с моментом | Mmax | = 230кНм.

Исходя из условий прочности , получаем:

См3.

По таблице для двутавровых балок (ГОСТ 8239-72) подбираем номер профиля № 50 (Wx = 1589см3, h = 50см, b = 17см).

5. Для балки прямоугольного сечения , Для нашего случая h = 2b, тогда

.

Из условий прочности имеем:

См; b = 32,5 см.

6. Для стальной балки:

Кн/см2 = 145 МПа.

Строим эпюру нормальных напряжений в наиболее опасном сечении.

7. Максимальное касательное напряжение будет в сечении В (справа), где Q = Qmax = 70кН. Для прямоугольного сечения

Задача 3.1.

Определение перемещений в статически определенной балке.

Дано: Еj = 5 × 103 кНм2, а = 3 м; Р = 30 кН; q = 10 кН / м

Определить методом Мора перемещения точек С и Д.

Решения.

1. Реакции опор

ÅМВ = — RA × 6 — P × 3 + 6q × 3 = 0; RA = = 15 кн

ÅМА = — RВ × 6 — P × 3а — 6q × 3 = 0 RВ = = 75 кн

Проверка: åFxy = 0; RA + RВ-P — 6q = 0

15 +75-30-60 = 0 Реакции найден верно.

2. Строим эпюру Q по характеры сечением

Q А = 15 кН; Q влево. = 15-60 = -45 кн

Q Впр = Р = 30 кн

3. Строим эпюру М

МА = МД = 0; Мс = RA × 3 = 3q × 1.5 = 0; МД =-3З = -90 кНм

Посередине АС Мх = 1,5 м = 15 × 1,5 — 10 × 1,5 × 0,75 = 11,25 кНм

На участке АВ эпюра М параболическая, а на участке ВД — прямолинейная.

4. Строим вспомогательные эпюры Мс и МД зчипальних моментов от действия единичных сил, приложенных в точках С и Д соответственно.

6. Пользуясь способа Верещагина, вычисляем вертикальное перемещение точки С. = = -2,1 × 10-3м = -2,1 мм

Знак «-» указывает, что точка С поднимается, а не опускается.

 =

= 80,8 × 10-3м = 80,8 мм

Точка Д действительно опускается.

Задача 4.1.

Расчет один паз статически неопределимой фермы.

Дано: С = 60 кН; a = 750; h = 1,2

Рассчитать усилия в стержнях один раз статически неопределимой фермы.

Решения.

На рис. «Б» показано эквивалентную схему, где стержень «6» заменено неизвестной реакцией Х1.

На рис. «В» приведена основная системы, где устранены стержень «6» и действует сила Р.

На рис. «Г» показана системы, в которой устранена внешняя сила Р, но действует единичная сила Х1 = 1 в направлении стержня «6».

Каноническое уравнение метода сил = 0

Коэффициенты И Для стержневой системы, где действуют только осевые усилия, определяются формуле Максвелла

=; = ;

Где Ni — усилия в стержнях, найденные в схеме «г»

Npi — усилия в стержнях, вычисленные в основной системе (рис. «в»)

Тогда Х1 == ; Расчет усилий Ni и Npi выполняем методом вырезания узлов.

Реакции опор в системе «в»

S Fix = — xa + P cos750 = 0 xa = 60 × 0.258 = 15.5 кн

S Fiу = Р sin 750 + RB — YA = 0

S MA = RA × a — P cos750 × a = 0 RB = 15,5 кн

YA = P sin + RB = 15,5 + 60 × 0,96 = 73,1 кн

Далее из условия равновесия узла В «с» есть Np3 = 0 Np1 = 0

Рассматриваем равновесие узла В.

 

В RB = 15,5 кН

NP2 Х

В NP4

RB = Np4 sin 450 Np4 = = 22кн

Стержень 4 — сжатый Np4 = 22 кн Np2 = 15,5 кн

Из условия равновесия узла Д имеем

 

Np1 = P sin 750 + Np4 cos 450 = 60 × 0,96 +15,5 = 73,1 кн

Усхеми «г» находим реакции опор ха = 2 RB = 1 YA = 1

Усилия в стержнях N5 = 1; N3 = 0; N2 = 1; N4 =; N1 = 1; N6 = 1

Полученные значения заносим в таблицу.

№ Стержня	Длина Стержня	Ni	Npi	Ni Npili	Ni2li
1	A	1	73,1	73,1 a	A
2	A	1	15,5	15,5 a	A
3	A	0	0	0	0
4	A	-	-22	44a	AA
5	A	1	0	0	A
6	1,2 a	1	0	0	1,2 a

Находим неизвестную реакцию

Знак — указывает, что стержень 6 не растянут, а сжат.

Усилия в других стержнях находим в соответствии с эквивалентной схемой б, где х1 известно (х1 = 19кН).

Из условия равновесия находим реакции опор

S Fкx = P cosa-х1-хА = 0; хА = 60.0 ,258-19 = -3,5 кН.

ХА направлена вправо

SМА = — P cosA + x1a + RBa = 0

RB = Pcos -X1 = 15,5-19 = 3,5 кн

S Fку = — Уа + Рsin75 — RB = 0

YA = 60 0.96 — 3,5 = 54,1 кн

Пользуемся методом вырезания

Узел С N3 = 0 N5 = -19 кн

Узел В N2 = -3,5 кн N4 = 3,5 = 4,9 кн

Узел А N1 = 54,1 кн

Ответ: N1 = 54,1 кн N2 = -3,5 кн N3 = 0 N4 = 4,9 кн N5 = -19 кн

Методические указания.

Сопротивление материалов изучает прочность, жесткость и устойчивость элементов машин и сооружений. В отличие от теоретической механики сопротивление материалов имеет дело с реальными, (деформированными) телами и рассматривается как раздел механики деформированных тел.

В сопротивлении материалов различают внешние силы и внутренние силы упругости. Внешние силы бывают сосредоточены и раздельные, постоянные и переменные, статические и динамические. Под влиянием внешних сил в теле появляются силы, которые препятствуют деформации. Они стремятся вернуть части тела в исходное положение — эти силы внутренней упругости.

Величина внутренних сил упругости, приходящихся на единицу плоскости сечения, называется напряжениями.

При воздействии внешних сил возникают деформации тела — это способность тела изменять свои размеры и очертания.

Различают следующие виды напряженного состояния: растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг (срез), смятие, кручение. Бывает сложное напряженное состояние.

Напряжение бывают нормальные σ (как правило, перпендикулярны плоскости разреза) и касательные τ (которые находятся в плоскости разреза). Если образец нанести по его длине две точки А и В, расстояние между которыми обозначим l, а затем приложим две силы F, которые растягивают образец, то образец удлиняется до размера l1;

Δl = l1 — l — абсолютное удлинение или абсолютная деформация (рисунок 6.1).

Для характеристики материалов иногда неудобно использования величины А /, поэтому используют относительную деформацию: ε = Δl / l

Для определения напряжений в заинтересованному месте образца розризаемo его и отвергнутую часть заменяем напряжением растяжении:

Σ = F / А в Па,

Где А — площадь разреза, м2;

F — растягивающее сила, Н.

Когда действуют внешние силы, в материале образца возникают и напряжения и деформации. Между ними есть зависимость в виде закона Гука: относительная деформация является пропорциональная напряжением σ:

Σ = Е * ε,

Где Е — модуль упругости первого рода, Па [для стали Е = (2 … 2,15) -105 МПа]; величина Е — это то напряжение, при котором материал образца способен осуществлять сопротивление деформации при растяжении и сжатию.

Закон Гука можно записать в другой форме: σ = Е-ε; ;

(Величина АЕ называется жесткостью): при растяжении абсолютное удлинение прямо пропорционально нагрузочной силе F и длине l и оберненопропорцийна жесткости.

Абсолютная поперечная деформация образца.

Δd = d1 — d,

Относительна:

Ε '= Δd / d, где d1 — поперечный размер образца после растяжения.

Отношение относительной поперечной деформации образца ε 'к относительной продольной деформации ε называется коэффициентом Пуассона:

7 = ε '/ ε (для металлов 7 = 0,25 … 0,35).

Для осуществления нормальной роботоздaтности деталей необходимо, чтобы фактически возникающие напряжения растяжения или сжатия не преувеличивали некоторые безопасные или допускные напряжения, которые обозначаются символом [σ], — это такое напряжение, при котором обеспечивается достаточная прочность и долговечность:

[Σ] = σ пр / [S],

Где σ пр — предельное напряжение материала, Па;

Σ пр = σ т — для пластичных материалов при статических нагрузках (где σ т — предел текучести, Па);

Σ пр = σ в — для хрупких материалов при статических нагрузках (где σ B — предел прочности или временное сопротивление),

Σ пр = σ -1 — для любых материалов при циклических изменениях нагрузки [где σ -1 = (0,4 … 0,5) σ в — для сталей и σ -1. = (0,25 .. .0,5) σ в — для цветных металлов];

[S] — допускной коэффициент запаса прочности, зависит от свойства материала, характера действующих нагрузок, условий эксплуатации и др.; принимают в различных отраслях машиностроения для пластичных материалов [S] = 2 … 4, для хрупких — [S] = 4 … 6.

Условие мiцности: σmах ≤ [σ], условие жесткости: , где σmax -

Максимальное напряжение, Па; [А /] — допускаемым абсолютная деформация, г.

Поэтому расчетным уравнением на растяжение и сжатие будет:

На рисунке 6.2 показана диаграмма растяжения образца [т. е. зависимости F = f (Δl) или σ = f (ε)] и ее характерные точки:

-σ п — предел пропорциональности (до точки А) — это наибольшее напряжение,

к которому деформации увеличиваются пропорционально напряжением (действует

закон Гука);

-σ в предел упругости (до точки В) — это напряжение, увеличение которого

вызывает заметные остаточные деформации (до 0,005% после точки В);

-σ т — предел текучести (от точки С до Д) — это напряжение, при которых

деформация увеличивается без увеличения напряжения;

-σ B — предел прочности или временное сопротивление (в точке К) — не отношение

максимальной силы Fmax, которую способен выдержать образец, к начальной

плоскости его поперечного сечения А0 (величина σ в для пластических

материалов оказывается условной)

-σр — предел разрушения (в точке R)

Пластичность материала характеризуется, кроме ε, что и относительным остаточным сужением образца при растяжении:

Ψ = (А0 — А1) / А0

Где А1 — плоскость поперечного сечения в наиболее тонком городе шейки разрыва образца.

3. Задания для закрепления и самоконтроля.

1.Что изучает раздел Сопротивление материалов?

2.Классификация сил в данном разделе. Что такое напряжение?

3.Как действующие на тело внешние силы?

4.Какие виды напряженного состояния известны в разделе?

5.Абсолютна и относительная деформация образца.

6.Чому равно нормальное напряжение растяжения и сжатия? Закон Гука.?

7.Что такое коэффициент Пуассона?

8.Що такое модуль упругости первого рода материала образца?

9.Що такое допускаемым напряжения?

10.Как определяется допускаемым напряжения?

11.Какие условия прочности и жесткости материала деталей?

12.Переликуйте характерные точки диаграммы растяжения образца.

13. Дайте определение каждой характерной точки диаграммы растяжения образца.