6
: Растяжение и сжатие материала механизмов.
1. Цель работы. Ознакомиться с основными понятиями и терминологией раздела Сопротивление материалов
Усвоить основные расчетные формулы по растяжения и сжатия материалов. Усвоить, что такое допускные напряжения и условия прочности и жесткости конструкции.
2 Типовые задачи. Задача № 1. Проверить прочность тяги ВС, Материал-сталь Ст3, допустимое напряжение [σ] = 160 МПа.
Рис.1.
Решение: Продольную силу N, возникающую в произвольном поперечном сечении тяги определим, применив метод сечения и рассматриваем равновесие балки АD.
Σ М А = 0;Fl — (N sin α) a = 0,
Откуда N = Fl / a sin α; подставив численные значения, получим
N = 40х2, 5 / (2.0х sin 300) = 100 кН.
Напряжение в поперечном сечении тяги
Σ = =
= 162х106 Па = 162 МПа
Где плоскость поперечного сечения одного равностороннего угилка 40х40х4 А1 = 3,08 см2. Плоскость сечения тяги А = 2А1. напряжение выше допустимого всего на 1,25%, значит прочность тяги обеспечена.
Задача № 2. Подсчитать прирост длины стального стержня ступенчатого сечения, показанного на рис. 2, если l1 = 50 см, l2 = 80 см, l3 = 40 см, l4 = 60 см; Е = 2х105 МПа (2х106кгс/см2) F1 = 10см2; F2 = 20 см2.
Решения. из условия равновесия нижней отсеченной части находим внутренние усилия в сечениях I-I, II — II, III — III, N1 = P1 = 2kH (200кгс) N2 = P1 — P2 = 2 — 5 =-3кн (-300 кгc) N3 = P1 — P2 + Р3 = 2 — 5 + 3 = 4 кН (400 кгc).
На рис.2б показано эпюру N (в кгc). Полное удлинение стержня определим как сумму удлинение отдельных его участков;
Δĺ = =
=-4х10-6м, =-4х10-4см.
Задача 1.1.
Расчет стержня ступенчатое — переменного сечения при растяжении — сжатии.
Построить эпюры продольных сил и напряжений.
Модуль упругости Е = 2.105 МПа.
Р = 150 Н, a = 1,5 м, q = 56 н / м, F = 700 мм2.
Решение.
Сначала определим реакцию защемления, направляя ось от защемления вдоль стержня. Условия равновесия: -R + P + P + 2a · 3q + 2aq = 0;
R = 2P + 8aq = 300 +12 · 6 = 972H.
Далее находим закон изменения продольных усилий N (x) на каждой из трех участков (I, II, III).
В пределах каждого участка усилия N (x) определены методом сечений, рассматривая равновесие части стержня, оставшейся после отсечки на некотором текучей расстоянии Х.
III участок.
NIII (x) = qx;
NIII (0) = 0;
NIII (2a) = aq = 56.1, 5 = 84H.
I участок.
NI (x) = R-3qx;
NI (0) = R = 972H;
NI (2a) = R-6aq = 468H. I участок.
NII (x) = R-P-6aq-q (x-2a)
NII (2a) = 318H;
NII (3a) = 318-84 = 234H.
Строим эпюру N (x) по найденным значением. Для эпюры напряжений вычисляем напряжение на предельных сечениях.
Н/мм2;
Н/мм2;
Н/мм2;
Н/мм2;
Н/мм2;
Строим эпюру σ. Откладываем значение σ'103 МПа.
Задача 1.2.
Определение усилий и перемещений в статически определенной стержневой конструкции.
Дано:
Е = 2.105 МПа, l2 = 0,8 м, l1 = 0,6 м, l3 = 0,9 м, Р = 10 кН;
В стержневой конструкции, нагруженная силой Р = 10 кН, следует определить усилия, перемещения и подобрать номер равнополочный угла (ГОСТ 8509-72).
Решение.
Направив реакции стержней N1, N2, N3 вдоль их продольных осей, рассмотрим три условия равновесия статики.
Используем основную форму равновесия плоской системы сил.
SFkx = N3 + N2sin30 °-N1sin30 ° = 0;
SFky = — P-N1cos30 °-N2cos30 ° = 0;
SMAi =-P (AB)-N3 (BC) = 0.
Из последнего уравнения получим:
КH.
Знак — говорит о том, что стержень 3 в действительности сжатый, а не растянут.
N2-N1 =-2N3 = 34,6
N2 + N1 = -11,6
2N2 = 23кH; N2 = 11,5 кН.
N1 = -11,6 -11,5 = -23,1 кН.
Стержень 1 сжат.
По максимально нагруженном стержню | N1 | = Nmax = 23,1 kH определим минимально допустимую площадь сечения.
См2.
По сортамента ГОСТ 8509-72 подбираем уголок с размером 28ь28ь3 и площадью поперечного сечения F = 1,62 см2.
Процент недогрузки Dσ% =
КH/см2.
Согласно закону Гука для абсолютных удлиненной определяем удлинение (укорочение) стержнейСм = -0,42 мм.
См = -0,28 мм.
См = -0,48 мм.
Задача 2.1.
Расчет балки на изгиб.
Для заданной балки нужно выполнить:
1. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2. подобрать по ГОСТ двутавровое сечение из условия прочности, если допустимое напряжение [σ] = 150Мпа.
3. Подобрать прямоугольное (h = 2b), считая балку деревянной ([σ] = 10Мпа).
4. Построить Эпюру нормальных напряжений в наиболее опасном сечении (П2).
5. Для балки по П3 определить максимальное касательное напряжение.
Принять а = 3,5 м, Р = 20 кН, q = 20кН / м, М = 90кНм.
Решение.
1. Реакции опор из условий равновесия статики.
SМВ = 0; Р × 14 + М-RA × 7 = 0; RA = 2Р += 52,86 кН
SМА = 0; Р × 7 + М + RВ × 7-2aq × 7 = 0; RB = 2aq-Р-= 107,14 кН
Проверка SFky = 0; RA + RB-Р-= 0
52,86 +107,14-140 = 0. Реакции найдены верно.
2. Эпюру поперечных сил строим по характерным сечениям.
QAмв = — Р = — 20кН
QAпр = — Р + RA = -20 +52,86 = 32,86 кН
QВмв = — Р + RA — aq = 20 +52,86 — 70 = -37,14 кН
QВпр = aq = 70 кН.
Строим эпюру Q, масштаб μQ = 20 кН / см.
3. Моменты в характерных сечениях.
На концах балки М = 0.
Д, лев = — Pa = — 70кНм;
Д, лев = — Pa — М = — 70 — 90 = — 160кНм;
МА = — P × 2а — М = — 140 — 90 = — 230кНм;
МС =-2aq × а + RВ × а = — 140 × 3,5 +108 × 3,5 = — 133кНм;
МВ =-aq × 0,5 А = — 70 × 1,75 = — 122,5 кНм.
Находим Хекстра. =М.
В этом сечении Мекстр. = 107,14 × 1,852-20 (3,5 +1,852) ×КНм.
Строим эпюру изгибающих моментов. Масштаб мкм = 50 кНм / см.
На участках, где q ¹ 0, эпюра М — парабола, потому .
4. Наиболее опасным сечением является сечение с моментом | Mmax | = 230кНм.
Исходя из условий прочности , получаем:
См3.
По таблице для двутавровых балок (ГОСТ 8239-72) подбираем номер профиля № 50 (Wx = 1589см3, h = 50см, b = 17см).
5. Для балки прямоугольного сечения , Для нашего случая h = 2b, тогда
.
Из условий прочности имеем:
См; b = 32,5 см.
6. Для стальной балки:
Кн/см2 = 145 МПа.
Строим эпюру нормальных напряжений в наиболее опасном сечении.
7. Максимальное касательное напряжение будет в сечении В (справа), где Q = Qmax = 70кН. Для прямоугольного сечения
Задача 3.1.
Определение перемещений в статически определенной балке.
Дано: Еj = 5 × 103 кНм2, а = 3 м; Р = 30 кН; q = 10 кН / м
Определить методом Мора перемещения точек С и Д.
Решения.
1. Реакции опор
ÅМВ = — RA × 6 — P × 3 + 6q × 3 = 0; RA = = 15 кн
ÅМА = — RВ × 6 — P × 3а — 6q × 3 = 0 RВ = = 75 кн
Проверка: åFxy = 0; RA + RВ-P — 6q = 0
15 +75-30-60 = 0 Реакции найден верно.
2. Строим эпюру Q по характеры сечением
Q А = 15 кН; Q влево. = 15-60 = -45 кн
Q Впр = Р = 30 кн
3. Строим эпюру М
МА = МД = 0; Мс = RA × 3 = 3q × 1.5 = 0; МД =-3З = -90 кНм
Посередине АС Мх = 1,5 м = 15 × 1,5 — 10 × 1,5 × 0,75 = 11,25 кНм
На участке АВ эпюра М параболическая, а на участке ВД — прямолинейная.
4. Строим вспомогательные эпюры Мс и МД зчипальних моментов от действия единичных сил, приложенных в точках С и Д соответственно.
6. Пользуясь способа Верещагина, вычисляем вертикальное перемещение точки С. =
= -2,1 × 10-3м = -2,1 мм
Знак «-» указывает, что точка С поднимается, а не опускается.
=
= 80,8 × 10-3м = 80,8 мм
Точка Д действительно опускается.
Задача 4.1.
Расчет один паз статически неопределимой фермы.
Дано: С = 60 кН; a = 750; h = 1,2
Рассчитать усилия в стержнях один раз статически неопределимой фермы.
Решения.
На рис. «Б» показано эквивалентную схему, где стержень «6» заменено неизвестной реакцией Х1.
На рис. «В» приведена основная системы, где устранены стержень «6» и действует сила Р.
На рис. «Г» показана системы, в которой устранена внешняя сила Р, но действует единичная сила Х1 = 1 в направлении стержня «6».
Каноническое уравнение метода сил = 0
Коэффициенты И
Для стержневой системы, где действуют только осевые усилия, определяются формуле Максвелла
=
;
=
;
Где Ni — усилия в стержнях, найденные в схеме «г»
Npi — усилия в стержнях, вычисленные в основной системе (рис. «в»)
Тогда Х1 == ; Расчет усилий Ni и Npi выполняем методом вырезания узлов.
Реакции опор в системе «в»
S Fix = — xa + P cos750 = 0 xa = 60 × 0.258 = 15.5 кн
S Fiу = Р sin 750 + RB — YA = 0
S MA = RA × a — P cos750 × a = 0 RB = 15,5 кн
YA = P sin + RB = 15,5 + 60 × 0,96 = 73,1 кн
Далее из условия равновесия узла В «с» есть Np3 = 0 Np1 = 0
Рассматриваем равновесие узла В.
В RB = 15,5 кН
NP2 Х
В NP4
RB = Np4 sin 450 Np4 = = 22кн
Стержень 4 — сжатый Np4 = 22 кн Np2 = 15,5 кн
Из условия равновесия узла Д имеем
Np1 = P sin 750 + Np4 cos 450 = 60 × 0,96 +15,5 = 73,1 кн
Усхеми «г» находим реакции опор ха = 2 RB = 1 YA = 1
Усилия в стержнях N5 = 1; N3 = 0; N2 = 1; N4 =; N1 = 1; N6 = 1
Полученные значения заносим в таблицу.
№ Стержня |
Длина Стержня |
Ni |
Npi |
Ni Npili |
Ni2li |
1 |
A |
1 |
73,1 |
73,1 a |
A |
2 |
A |
1 |
15,5 |
15,5 a |
A |
3 |
A |
0 |
0 |
0 |
0 |
4 |
A |
— |
-22 |
44a |
A |
5 |
A |
1 |
0 |
0 |
A |
6 |
1,2 a |
1 |
0 |
0 |
1,2 a |
Находим неизвестную реакцию
Знак — указывает, что стержень 6 не растянут, а сжат.
Усилия в других стержнях находим в соответствии с эквивалентной схемой б, где х1 известно (х1 = 19кН).
Из условия равновесия находим реакции опор
S Fкx = P cosa-х1-хА = 0; хА = 60.0 ,258-19 = -3,5 кН.
ХА направлена вправо
SМА = — P cosA + x1a + RBa = 0
RB = Pcos -X1 = 15,5-19 = 3,5 кн
S Fку = — Уа + Рsin75 — RB = 0
YA = 60 0.96 — 3,5 = 54,1 кн
Пользуемся методом вырезания
Узел С N3 = 0 N5 = -19 кн
Узел В N2 = -3,5 кн N4 = 3,5 = 4,9 кн
Узел А N1 = 54,1 кн
Ответ: N1 = 54,1 кн N2 = -3,5 кн N3 = 0 N4 = 4,9 кн N5 = -19 кн
Методические указания.
Сопротивление материалов изучает прочность, жесткость и устойчивость элементов машин и сооружений. В отличие от теоретической механики сопротивление материалов имеет дело с реальными, (деформированными) телами и рассматривается как раздел механики деформированных тел.
В сопротивлении материалов различают внешние силы и внутренние силы упругости. Внешние силы бывают сосредоточены и раздельные, постоянные и переменные, статические и динамические. Под влиянием внешних сил в теле появляются силы, которые препятствуют деформации. Они стремятся вернуть части тела в исходное положение — эти силы внутренней упругости.
Величина внутренних сил упругости, приходящихся на единицу плоскости сечения, называется напряжениями.
При воздействии внешних сил возникают деформации тела — это способность тела изменять свои размеры и очертания.
Различают следующие виды напряженного состояния: растяжение, сжатие, изгиб, сдвиг (срез), смятие, кручение. Бывает сложное напряженное состояние.
Напряжение бывают нормальные σ (как правило, перпендикулярны плоскости разреза) и касательные τ (которые находятся в плоскости разреза). Если образец нанести по его длине две точки А и В, расстояние между которыми обозначим l, а затем приложим две силы F, которые растягивают образец, то образец удлиняется до размера l1;
Δl = l1 — l — абсолютное удлинение или абсолютная деформация (рисунок 6.1).
Для характеристики материалов иногда неудобно использования величины А /, поэтому используют относительную деформацию: ε = Δl / l
Для определения напряжений в заинтересованному месте образца розризаемo его и отвергнутую часть заменяем напряжением растяжении:
Σ = F / А в Па,
Где А — площадь разреза, м2;
F — растягивающее сила, Н.
Когда действуют внешние силы, в материале образца возникают и напряжения и деформации. Между ними есть зависимость в виде закона Гука: относительная деформация является пропорциональная напряжением σ:
Σ = Е * ε,
Где Е — модуль упругости первого рода, Па [для стали Е = (2 … 2,15) -105 МПа]; величина Е — это то напряжение, при котором материал образца способен осуществлять сопротивление деформации при растяжении и сжатию.
Закон Гука можно записать в другой форме: σ = Е-ε; ;
(Величина АЕ называется жесткостью): при растяжении абсолютное удлинение прямо пропорционально нагрузочной силе F и длине l и оберненопропорцийна жесткости.
Абсолютная поперечная деформация образца.
Δd = d1 — d,
Относительна:
Ε '= Δd / d, где d1 — поперечный размер образца после растяжения.
Отношение относительной поперечной деформации образца ε 'к относительной продольной деформации ε называется коэффициентом Пуассона:
7 = ε '/ ε (для металлов 7 = 0,25 … 0,35).
Для осуществления нормальной роботоздaтности деталей необходимо, чтобы фактически возникающие напряжения растяжения или сжатия не преувеличивали некоторые безопасные или допускные напряжения, которые обозначаются символом [σ], — это такое напряжение, при котором обеспечивается достаточная прочность и долговечность:
[Σ] = σ пр / [S],
Где σ пр — предельное напряжение материала, Па;
Σ пр = σ т — для пластичных материалов при статических нагрузках (где σ т — предел текучести, Па);
Σ пр = σ в — для хрупких материалов при статических нагрузках (где σ B — предел прочности или временное сопротивление),
Σ пр = σ -1 — для любых материалов при циклических изменениях нагрузки [где σ -1 = (0,4 … 0,5) σ в — для сталей и σ -1. = (0,25 .. .0,5) σ в — для цветных металлов];
[S] — допускной коэффициент запаса прочности, зависит от свойства материала, характера действующих нагрузок, условий эксплуатации и др.; принимают в различных отраслях машиностроения для пластичных материалов [S] = 2 … 4, для хрупких — [S] = 4 … 6.
Условие мiцности: σmах ≤ [σ], условие жесткости: , где σmax —
Максимальное напряжение, Па; [А /] — допускаемым абсолютная деформация, г.
Поэтому расчетным уравнением на растяжение и сжатие будет:
На рисунке 6.2 показана диаграмма растяжения образца [т. е. зависимости F = f (Δl) или σ = f (ε)] и ее характерные точки:
-σ п — предел пропорциональности (до точки А) — это наибольшее напряжение,
к которому деформации увеличиваются пропорционально напряжением (действует
закон Гука);
-σ в предел упругости (до точки В) — это напряжение, увеличение которого
вызывает заметные остаточные деформации (до 0,005% после точки В);
-σ т — предел текучести (от точки С до Д) — это напряжение, при которых
деформация увеличивается без увеличения напряжения;
-σ B — предел прочности или временное сопротивление (в точке К) — не отношение
максимальной силы Fmax, которую способен выдержать образец, к начальной
плоскости его поперечного сечения А0 (величина σ в для пластических
материалов оказывается условной)
-σр — предел разрушения (в точке R)
Пластичность материала характеризуется, кроме ε, что и относительным остаточным сужением образца при растяжении:
Ψ = (А0 — А1) / А0
Где А1 — плоскость поперечного сечения в наиболее тонком городе шейки разрыва образца.
3. Задания для закрепления и самоконтроля.
1.Что изучает раздел Сопротивление материалов?
2.Классификация сил в данном разделе. Что такое напряжение?
3.Как действующие на тело внешние силы?
4.Какие виды напряженного состояния известны в разделе?
5.Абсолютна и относительная деформация образца.
6.Чому равно нормальное напряжение растяжения и сжатия? Закон Гука.?
7.Что такое коэффициент Пуассона?
8.Що такое модуль упругости первого рода материала образца?
9.Що такое допускаемым напряжения?
10.Как определяется допускаемым напряжения?
11.Какие условия прочности и жесткости материала деталей?
12.Переликуйте характерные точки диаграммы растяжения образца.
13. Дайте определение каждой характерной точки диаграммы растяжения образца.