Пример выполнения титульного листа
 |
МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ УКРАИНЫ
СУМСКОЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА «технологического оборудования пищевых производств»
Контрольная работа
По дисциплине «ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ И ТЕХНИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА»
Выполнил студент группы -1
Иванов С. С.
Зачетная книжка СМВ — 134
Вариант № 07
Проверил преподаватель
Радчук В.
Суммы 2009
Пример выполнения Задания 1 контрольной работы (для варианта № 25)
1. Метод наименьших квадратов
Этот метод является одним из наиболее распространенных приемов статистической обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональных зависимостей физических величин друг от друга. В том числе, он применим к линейной зависимости и позволяет получить достоверные оценки ее параметров a и b, а также оценить их погрешности. Рассмотрим статистическую модель эксперимента, в котором исследуют линейную зависимость. Пусть проведено n парных измерений величин x и y: xi, yi, где i = 1, … , N. По экспериментальных данных Необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их дисперсий sa2и sb2. О природе экспериментальных погрешностей сделаем Следующие предположения.
1. Значение xi известны точно, то есть без погрешностей.
Конечно, в реальном эксперименте такое предположение вряд ли выполняется. Скорее всего, погрешности Dxi распределены нормально и могут быть перечислены в погрешности Dyi. Это вызывает увеличение дисперсии s2 распределения величин yi, что должно учитываться в процессе обработки данных методом наименьших квадратов. Как показано ниже, так и произойдет, а значит, не будет ошибкой считать xi известными точно.
2. Распределения величин yi взаимно независимы, имеют ту же дисперсию s2 и соответствуют нормальному закону. Распределения yi имеют средние значения 
, совпадающие с точным значением функции axi + b. Это предположение иллюстрирует рис.8.4.
Рис.8.4. Иллюстрация модели метода наименьших квадратов.
Распределение плотности вероятности величины yi вокруг точного значения axi + b задает выражение:
Плотность вероятности реализации полученных экспериментальных данных L (y1, y2, ……., yn), что называется функцией правдоподобия, определяют через произведение плотностей вероятностей распределений отдельных измерений, так как распределения yi независимы:
(8.4)
Натуральный логарифм этой функции:
.
Оценкам a, b, s2 будет правильным считать значения, при которых L и lnL максимальные, т. е. реализуется самая вероятность получения набора экспериментальных данных. Экстремум функции lnL находят дифференцированием:
После дифференцирования система уравнений относительно искомых параметров примет вид:
,
, (8.5)
.
Два первых уравнения в (8.5) есть не что иное, как условие минимума выражения,
(8.6)
Составленного из суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от точной линейной зависимости, в связи с чем описываемый Метод и получил название метода наименьших квадратов. Решив (8.5), находим
(8.7)
Согласно выводам математической статистики, для получения несмещенной относительно точного значения оценки дисперсии решение, найденное с (8.5), необходимо домножить на 
(8.8)
Оценим теперь дисперсии параметров. Преобразуем выражения для a:
, где 
.
После преобразования видно, что a получается как линейная комбинация взаимно независимых величин yj, потому что коэффициенты kj заданы точно — согласно пункту 1 предположений о статистике исследуемых величин. Следовательно, параметр a распределен нормально, а его дисперсия sa2являе собой линейную комбинацию дисперсий величин yj с коэффициентами kj2 — это свойство добавления нормальных распределений уже встречалась при рассмотрении погрешностей косвенных измерений.
. (8.9)
Преобразуем выражения для b:
.
Параметр b также нормально распределен. Его дисперсия:
.
С (8.9) выразим s второй подставим в предыдущее выражение:
,
.(8.10)
Иногда при обработке линейной зависимости необходимо найти координату точки пересечения графиком оси x:
Соответствующая дисперсия
.
Для практических Расчетов методом наименьших квадратов удобно использовать видоизмененные выражения, получаемые при введении следующих величин:
,
,
.
В таком Случае:
,
(8.11)
:
.
Выражения (8.11) удобны и для прямых расчетов на калькуляторе, и для программирования вычислений при использовании компьютера. Кстати, много прикладных компьютерных программ содержат метод наименьших квадратов. Часто после введения экспериментальных точек они строят график зависимости и сразу автоматически обрабатывают ее для определения оценок параметров и их погрешностей.
В заключение этого раздела применим выражения метода наименьших квадратов (8.11) к обработке данных, содержащихся в табл.8.2.
Получим:
= 2,575 · 10-3
= 2324
a = R = 916
s2 = 15,1
sa2 = 3405
sa = sR = 58
T (0,68; 7) = 1,1 (см. главу 9)
DR = 58.1 / 1 = 64 Ом
R = (0,92 ± 0,06) · 103 Ом
При сравнении результата метода парных точек и результата метода наименьших квадратов можно сделать вывод об их достаточно хорошее совпадение. Конечно, речь идет только о сравнении в пределах погрешности результатов, в методе наименьших квадратов оценена в полтора раза меньше.
