Для проверки плана на оптимальность используют систему оценок (потенциалов) строк и столбцов, которые рассчитываются по правилу: для любой заполненной ячейки сумма потенциалов соответствующей строки и столбца должна доривнюватися оценке (стоимость перевозки единицы груза или расстояние) этой клетки.

Ui + Vj = Cij

Где: Cij — оценка ячейки;

I - строки (I = 1, 2, …, M),

J — Столбики ( J= 1, 2, …, H)

Ui - оценка I-Й строки (I = 1, 2, … M)

Vj - Оценка J-Го столбца (J = 1, 2, … H)

То есть, если известен потенциал Ui, То Vj = Cij-Ui, а если известен Vj, то Ui = Cij — Vj . При этом один из строк или один из колонок получает произвольную оценку, а оценки последних строк и столбцов надо рассчитать по указанным формулам.

Пусть U1 = 0, тогда потенциалы первого и второго столбцов будут составлять:

V1 = C11-U1 = 6-0 = 6 для В1

V2 = C12-U1 = 4-0 = 4 для В2

Теперь можно определить потенциал второй строки:

U2 = C22 — V2 = 17 — 4 = 13

Определим потенциалы для В3, В4 И Вфикт:

V3 = C23-U2 = 28 — 13 = 15 для В3

V2 = C24-U2 = 3 — 13 = -10 для В4

V2 = C25-U2 = 0 — 13 = -13 для Вфикт

Теперь можно определить потенциал А3:

U3 = C35 — V5 = 0 — (-13) = 13

Во всех занятых клетках условие оптимальности выполняется, а для свободных клеток выполняются расчеты по проверке плана на оптимальность:

Для Х13 сумма потенциалов U1 + V3 = 0 + 15 = 15, £ 15

Для Х14 сумма потенциалов U1 + V4 = 0 + (-10) = -10, что £ 19

Для Х15 сумма потенциалов U1 + V5 = 0 + (-13) = -13, что£ 0

Для Х21 сумма потенциалов U2 + V1 = 13 + 6 = 19,> 13

Для Х31 сумма потенциалов U3 + V1 = 13 + 6 = 19,> 5

Для х32 сумма потенциалов U3 + V2 = 13 + 4 = 17, £ 20

Для х33 сумма потенциалов U3 + V3 = 13 + 15 = 28,> 6

Для Х34 сумма потенциалов U3 + V4 = 13 + (-10) = 3, что £ 10

Следовательно, данный план перевозок не является оптимальным, так как в ячейках Х21, Х31, Х33 не выполняется требование Ui + Vj £ Cij. Необходимо перейти к следующему плану.

Для этого выбирается клетка, в которой сумма потенциалов наиболее превышает отметку, это клетка Х33 и она называется клеткой Пересчета.

Начиная с клетки пересчете строится по занятым клеткам фигура пересчета (замкнутый контур, вершины которого находятся в занятых клетках), которая может иметь вид (некоторые варианты фигуры):

Клетки, которые вошли в фигуры пересчета отражаются поочередно знаками +, -, +, -, … , Начиная с клетки пересчета.

Заполняется новая транспортная таблица:

-количество груза в клетках, которые не вошли в фигуры пересчета переносится в новую таблицу без изменений;

-для клеток фигуры пересчета: количество груза в клетках со знаком + увеличивается, а в ячейках со знаком — уменьшается на одну и ту же величину, а именно, на наименьшее количество груза в ячейках, обозначенных знаком -.

Исправленный таким образом план перевозок записывается в соответствующую таблицу и исследуется на оптимальность, как и предыдущий.

При таком плане перевозок общее количество тонно-километров будет составлять:

FMin = 14 * 6 +12 * 4 +7 * 17 +5 * 3 +21 * 0 +20 * 6 +25 * 0 = 386 т-км.

Вычислим потенциалы по правилу, описанным выше, и проверим составлен план на оптимальность.

Для свободных клеток произведем расчеты:

Для Х13 сумма потенциалов U1 + V3 = 0 + (-7) = -7, что £ 15

Для Х14 сумма потенциалов U1 + V4 = 0 + (-10) = -10, что £ 19

Для Х15 сумма потенциалов U1 + V5 = 0 + (-13) = -13, что £ 0

Для Х21 сумма потенциалов U2 + V1 = 13 + 6 = 19,> 13

Для Х23 сумма потенциалов U2 + V3 = 13 + (-7) = 6, что£ 28

Для Х31 сумма потенциалов U3 + V1 = 13 + 6 = 19,> 5

Для х32 сумма потенциалов U3 + V2 = 13 + 4 = 17, £ 20

для Х34 сумма потенциалов U3 + V4 = 13 + (-10) = 3, что £ 10

Данный план перевозок не является оптимальным, так как в клетках Х21, Х31, не выполняется условие оптимальности Ui + Vj £ Cij.

Выбирается клетка Х31, начиная с нее строится фигура пересчета.

Следующая транспортная таблица имеет вид:

При таком плане перевозок общее количество тонно-километров будет составлять:

FMin = 7 * 6 +19 * 4 +5 * 3 +28 * 0 +7 * 5 +20 * 6 +18 * 0 = 288 т-км.

Вычислим потенциалы и для свободных клеток произведем расчеты по проверке плана на оптимальность:

Для Х13 сумма потенциалов U1 + V3 = 0 + 7 = 7, £ 15

Для Х14 сумма потенциалов U1 + V4 = 0 + 4 = 4, £ 19

Для Х15 сумма потенциалов U1 + V5 = 0 + 1 = -1,> 0

Для Х21 сумма потенциалов U2 + V1 = -1 + 6 = 5, £ 13

Для Х22 сумма потенциалов U2 + V2 = -1 + 4 = 3, £ 17

Для Х23 сумма потенциалов U2 + V3 = -1 + 7 = 6, £ 28

Для х32 сумма потенциалов U3 + V2 = -1 + 4 = 3, £ 20

для Х34 сумма потенциалов U3 + V4 = -1 + 4 = 3, £ 10

Данный план перевозок не является оптимальным, так как в ячейке Х15 не соблюдается требование оптимальности Ui + Vj £ Cij. Построим фигуру перерасчета и рассчитаем новую таблицу.

Рисуем фигуру перерасчета и рассчитаем новую таблицу.

Поставщик	Потребители	Запасы	Потенциалы, Ui
В1	В2	В3	В4	Вфиктивний
A1	6	4	15	19	0	26	0
19	7
A2	13	17	28	3	0	33	0
5	28
A3	5	20	6	10	0	45	0
14	20	11
Потребность	14	19	20	5	46	104
Потенциалы, VJ	5	4	6	3	0

При таком плане перевозок общее количество тонно-километров будет составлять:

FMin = 7 * 6 +19 * 4 +5 * 3 +28 * 0 +7 * 5 +20 * 6 +18 * 0 = 281 т.-км.

Вычислим потенциалы и для свободных клеток произведем расчеты по проверке плана на оптимальность:

Для Х11 сумма потенциалов U1 + V1 = 0 + 5 = 5, £ 6

Для Х13 сумма потенциалов U1 + V3 = 0 + 6 = 6, £ 15

Для Х14 сумма потенциалов U1 + V4 = 0 + 3 = 3, £ 19

Для Х21 сумма потенциалов U2 + V1 = 0 + 5 = 5, £ 13

Для Х22 сумма потенциалов U2 + V2 = 0 + 4 = 4, £ 17

Для Х23 сумма потенциалов U2 + V3 = 0 + 6 = 6, £ 28

Для х32 сумма потенциалов U3 + V2 = 0 + 4 = 4, £ 20

для Х34 сумма потенциалов U3 + V4 = 0 + 3 = 3, £ 10

Данный план перевозок является оптимальным, так как во всех клетках таблицы выполняется условие оптимальности.

При оптимальном плане перевозок общее количество тонно-километров будет составлять 281 т.-км.

Так, перевозка груза следует организовать таким образом:

-из пункта А1 необходимо перевезти 19тон в пункт В2 и 7тон в пункт Вфикт;

-из пункта А2 необходимо перевезти 5тон в пункт В4 и 28тон в пункт Вфикт;

-из пункта А3 необходимо перевезти 14тон в пункт 1, 20тон в пункт В3 и 11тон в пункт Вфикт.

Задача 4.

Экономико-математическая модель оптимизации рациона кормления животных.

Условие задачи.

Составить суточный кормовой рацион для коровы живой массой 500 кг и надою 16л за сутки на стойловый период.

В рационе должно содержаться не менее:

Кормовых единиц	12,6
Обменной энергии, МДж	148
Сухого вещества, кг	15,8
Переваримого протеина, г	1260
Сырой клетчатки, г	4110
Крахмала, г	1705
Сахаров, г	1135
Кальция, г	89
Фосфора, г	63
Магния, г	25
Калия, г	96
Серы, г	31
Железа, мг	1010
Каротина, мг	565

В рационе должно быть не менее (в натуральном выражении):

-концентрированных кормов — 1,5 кг;

-сочных кормов — 14 кг;

-грубых кормов — 10 кг.

Для обеспечения сбалансированности рациона следует учесть соотношение между отдельными кормами:

-количество ячменя должна быть в 3 раза больше количества других концентрированных кормов;

-количество силоса должна быть в 2 раза больше количества других сочных кормов;

-количество сена должна быть в 3 раза больше количества соломы

-количество сена соотносится с количеством сенажа как 2:1.

Составить рацион, который будет иметь минимальную стоимость.

Корма для разработки экономико-математической модели выбрать согласно варианту, числовые данные взять из таблицы.

Разработать экономико-математическую модель, переменными в которой будут корма в натуральном выражении, кг (Х1, Х 2, Х 3, …).

В хозяйстве имеются следующие корма, из которых необходимо составить рацион: свекла кормовая, морковь, сенаж разнотравные, силос кукурузный, жом свекольный, сено лучне в фазе цветения, солома пшеничная, зерно ячменя, зерно овса, зерно гороха, жмых подсолнечный.

Содержание питательных веществ в 1 кг корма

Показатель	Сахарная свекла	Морковь	Сенаж Разнотравных	Силос кукурузный	Жом свежий	Сено лучне в фазе цветения	Солома Пшеничная	Зерно
Овес	Ячмень	Горох
Кормовые единицы	0,24	0,14	0,29	0,20	0,12	0,46	0,20	1,00	1,15	1,18
Обменная энергия, МДж	2,84	2,20	3,44	2,30	1,13	6,59	4,76	9,02	10,5	11,1
Сухое вещество, г	230	120	450	250	112	828	846	850	850	850
Переваренный протеин, г	7	8	23	14	6	49	5	79	85	192
Сырая клетчатка, г	14	11	157	75	33	254	364	97	49	54
Крахмал, г	6	7	15	8	-	-	-	320	485	455
Сахара, г	120	35	23	6	2,5	20	3	25	2	55
Кальций, г	0,5	0,9	4,9	1,4	1,5	7,2	2,8	1,5	2	2,0
Фосфор, г	0,5	0,6	1,3	0,4	0,14	2,1	0,8	3,4	3,9	4,3
Магний, г	0,4	0,3	1,3	0,5	0,5	1,7	0,8	1,2	1,0	1,2
Калий, г	2,6	5,1	11,7	2,9	0,8	17	7,6	5,4	5,0	10,7
Сера, г	0,3	0,2	0,9	0,4	0,4	1,7	0,8	1,3	1,3	1,6
Железо, мг	31	10	208	61	24	287	360	41	50	60
Каротин, мг	0,3	54	25	20	-	15	4	1,3	0,3	0,2
Цена 1 кг корма, грн.	0,3	0,5	0,16	0,06	0,04	0,18	0,05	0,22	0,26	0,32

Решения.

Переменными задачи являются количество кормов по видам в рационе:

Х1 — количество сахарной свеклы;

Х2 — количество моркови

Х3 — количество сенажа;

Х4 — количество силоса;

Х5 — количество жома;

Х6 — количество сена;

Х7 — количество соломы

Х8 — количество зерна овса;

Х9 — количество зерна ячменя;

Х10 — количество зерна гороха.

На эти переменные наложено 20 ограничений, которые можно разделить на три группы:

1) ограничение (с 1-го по 14-е), которые обеспечивают необходимую минимальное количество соответствующей питательного вещества в Рационе;

Так первое ограничение касается содержания кормовых единиц в рационе:

0,24X1 +0,14X2 +0,29X3 +0,2X4 +0,12X5 +0,46X6 +0,2X7 +1X8 +1,15X9 +1,18X10> = 12,6; где

Переменные Х 1, Х 2, …, Х 10 — количество кормов в рационе по видам (коэффициенты при этих переменных — это содержание кормовых единиц в 1 кг соответствующего корма);

12,6 — биологическая норма содержания кормовых единиц в рационе.

Аналогичный структурный вид имеют ограничения по содержания других питательных веществ в рационе (обменной энергии, сухого вещества, переваримого протеина, …)

2) ограничение (с 15-го по 18-е), которые характеризуют соотношение между отдельными запятыми;

15-е ограничение задает соотношение количества ячменя в других концентрированных и имеет такой математический вид:

1X9-3X8-3X10 = 0; где

X9 — количество зерна ячменя в рационе;

X8,X10 — количество зерна овса и гороха в рационе;

1 и 3 — коэффициенты пропорциональности.

3) ограничения (с 19-го по 21-е), которые задают нижнюю границу вхождения в рацион одного корма или группы кормов.

19-е — ограничение обеспечивает минимальное количество концентрированных кормов в рационе:

1X9 +1X8 +1X10> = 1,5; где

X9,X8, Х 10 — количество овса, ячменя и гороха в рационе.

В качестве критерия оптимальности выступает минимальная стоимость рациона:

FMin = 0,3X1 +0,5 Х 2 +0,16X3 +0,06X4 +0,04X5 +0,18X6 +0,05X7 +0,22X8 +0,26X9 +0,32X10

Экономико-математическая модель оптимизации кормового рациона

(В табличном виде).

Показатель	Сахарная свекла	Морковь	Сенаж Разнотравных	Силос кукурузный	Жом свекольный свежий	Сено лучне в фазе цветения	Солома Пшеничная	Зерно Овса	Зерно ячменя	Зерно гороха	Тип и размер ограничений
Переменные	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Х8	Х9	Х10
1.	Кормовые единицы	0,24	0,14	0,29	0,20	0,12	0,46	0,20	1,00	1,15	1,18	> = 12,6
2.	Обменная энергия, МДж	2,84	2,20	3,44	2,30	1,13	6,59	4,76	9,02	10,5	11,1	> = 148
3.	Сухое вещество, г	230	120	450	250	112	828	846	850	850	850	> = 15800
4.	Переваренный протеин, г	7	8	23	14	6	49	5	79	85	192	> = 1260
5.	Сырая клетчатка, г	14	11	157	75	33	254	364	97	49	54	> = 4110
6.	Крахмал, г	6	7	15	8	320	485	455	> = 1705
7.	Сахара, г	120	35	23	6	2,5	20	3	25	2	55	> = 1135
8.	Кальций, г	0,5	0,9	4,9	1,4	1,5	7,2	2,8	1,5	2	2,0	> = 89
9.	Фосфор, г	0,5	0,6	1,3	0,4	0,14	2,1	0,8	3,4	3,9	4,3	> = 63
10.	Магний, г	0,4	0,3	1,3	0,5	0,5	1,7	0,8	1,2	1,0	1,2	> = 25
11.	Калий, г	2,6	5,1	11,7	2,9	0,8	17	7,6	5,4	5,0	10,7	> = 96
12.	Сера, г	0,3	0,2	0,9	0,4	0,4	1,7	0,8	1,3	1,3	1,6	> = 31
13.	Железо, мг	31	10	208	61	24	287	360	41	50	60	> = 1010
14.	Каротин, мг	0,3	54	25	20	15	4	1,3	0,3	0,2	> = 565
15.	Соотношение количества ячменя в других концентрированных	-3	1	-3	= 0
16.	Соотношение количества силоса до других сочных	-2	-2	1	-2	= 0
17.	Соотношение количества сена к соломе	1	-3	= 0
18.	Соотношение количества сена в сенажа	-2	1	= 0
19.	Нижняя граница концентрированных кормов в рационе	1	1	1	> = 1,5
20.	Нижняя граница грубых кормов в рационе	1	1	1	> = 10
21.	Нижняя граница сочных кормов в рационе	1	1	1	1	> = 14
22.	Целевая функция (стоимость рациона), грн.	0,3	0,5	0,16	0,06	0,04	0,18	0,05	0,22	0,26	0,32	Min

Задача 5.

Экономико-математическая модель оптимизации структуры посевных площадей.