3

Работы. Плоскопараллельной движение твердого тела.

1. Цель работы. При изучении темы Студент должен сосредоточить внимание на следующих вопросах теоретического характера, которые освещены в базовом учебнике (1) и дополнительных источниках (2,3). При изучении теоретических (вопросов 1-2) студент должен усвоить плоскопараллельной движение твердого тела. Разложение плоско-параллельного движения на поступательное и вращательное. Скорости точек плоской фигуры. Понятие мгновенный центр скоростей.

Плоскопараллельной движением твердого тела называют движение, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Плоскопараллельной движение совершают, например, звенья кривошипно-шатунного механизма, колесо при движении по прямолинейной рейке, мотовило комбайна, который движется по прямолинейном участке пути.

Плоскопараллельной движение в общем случае является сложным движением, который состоит из переносного поступательного движения вместе с произвольно выбранным полюсом — точкой О (рис.1а) и относительного вращательного движения вокруг этого полюса (рис. 1б). Поступательное часть плоскопараллельного движения зависит от выбора полюса, а вращательная — не зависит. Скорость произвольной точки А тела, которое движется плоскопараллельной, равна геометрической сумме скорости произвольной точки О, принятой за полюс ν'0 и скорости точки А в ее

Вращении вокруг этого полюса νΛ0 (рис. 1в):

За полюс всегда можно выбрать такую точку, скорость которой В данный момент времени равна нулю. Эта точка называется Мгновенным центром Скоростей Р. В каждый момент времени скорость любой точки плоской фигуры равна скорости ее вращательного движения вокруг мгновенного центра скоростей Ρ (рис.2):

Где w — мгновенная угловая скорость, АР, ВР, DP — расстояния точек до мгновенного центра скоростей.

Рис.1 Рис. 2

2.Типы задачи.

Задача 1. Две параллельные рельсы движутся в разные стороны с постоянными скоростями V1 и V2. Между рейками придавленный диск радиусом r, который катится по рельсам без скольжения. Найти угловую скорость и скорость его центра О, если V1 больше V2.

Задача 2. В плоском Механизме ОАВР3 шатун 2 шарнирно соединен с центром колеса 3. Кривошип вращается с угловой скоростью ω1 = 8 рад / с и угловым ускорением ε1 = -10 рад/с2, а колесо 3 катится по поверхности без скольжения по прямой, параллельной ОВ. Размеры звеньев: ОА = r1 = 0,2 м; АВ = l = 0,6 м; ВР3 = r3 = 0,1 м. определить скорость и ускорение точек В, М, С, Е, Р3, а также угловые скорости и ускорения шатуна 2 и колеса 3 в момент времени, когда кривошип 1 составит с ОВ угол = 450.

Решения. Механизм состоит из трех подвижных звеньев рис. 3. Шатун 2 и колесо 3 выполняют плоско параллельное движение. Вводим систему координат Оxу,

Рис.3. Плоско параллельное движение кривошипно-шатунного механизма.

Запишем сначала некоторые соотношения:

Sin β = r1 sin,cos β = .В нашем случае sin β =/ 6, cos β =/ 6, sin ( = (+ 1) / 6, cos (= (— 1) / 6.

Скорость и ускорение кривошипа, выполняет вращательное движение относительно неподвижной оси:

Va = ω1r1 = 8х0, 2 = 1,6 м / с; аn = ω12 r1 = 82х0, 2 = 12,8 м/с2, ат = ε r1 =-10х0, 2 = -2 м/с2.

Вектор Перпендикулярное ОА и направлен в сторону вращения кривошипа. Вектор Направлен вздовш звена 1 до точки О, вектор Ата перпендикулярно ОА и направлен в сторону, противоположную движению.

Модуль ускорения точки А

АА = = = 12,96 м/с2.

Анализируем плоскопараллельной движение шатуна 2. В точке А шатун и кривошип имеют одинаковую скорость и ускорение, примем за полюс тачку А и определим скорость точки В шатуна:

= + ВА

В проекциях векторов на координатные оси получим:

VBx = VB = VA sin+ V BA sin β,

0 = VA cos— VBA cos β,

Откуда VB = VA sin (/ Cosβ = 1,41 м/с2,

VBA = VA cos/ Cosβ = 1,16 м/с2

Угловая скорость шатуна

Ω 2 = VBA / L = 1,94 рад / с.

Ускорение точки В шатуна, принимая за полюс точку А

   В = НА + И + НВА + ТВА.

Нормальное ускорение в мгновенном вращательном движении точки В относительно точки А

АНВА = ω 22хL = 2,26 м/с2.

Направим НВА вдоль АВ от точки В к точке А, а вектор ТВА. Перпендикулярно АВ вверх, считая, что ε2 напрвлений против часовой стрелки. Вектор Ускорение точки в направление имеет вдоль линии ОВ до точки О результате прямолинейности ее движения в этом направлении.

Остаются неизвестными только значение аВ и аТВА, которые с начала найдем графически, построив план ускорений, а затем аналитически проектируя вектор В на оси Ох и Оу.

АВ = АВХ = АНВА х cos— АТВА sin+ АНВА cosβ — аТВА sin β.

Аву = Ана sin+ Ата cos— АНВА sin β — аТВА cosβ = 0.

Откуда

АТВА = 10,22 м/с2, аВ = 7,42 м/с2.

Так как значение аТВА и аВ положительные, направления их векторов выбраны правильно.

Угловое ускорение шатуна

Ε2 = аТВА / L = 17,03 рад / с2.

Направлено ε2-против часовой стрелки.

Определим скорость, ускорение а также угловую скорость и угловое ускорение колеса 3.

Мгновенный центр скоростей для колеса 3 находится в точке Р3.

Угловая скорость колеса

Ω3 = VB / r3 = 14,06 рад / с.

Скорости точек Овод колеса

VМ = VЕ = ω 3х Р3М = VB= 1,99 м / с. VС = ω3х Р3С = 2 VB = 2,81 м / с. VР3 = 0, где Р3М = Р3Е = r3= 0,14 м.

Векторы скоростей точек колеса направлены по перпендикулярам к прямым, соединяющих мгновенный центр скоростей Р3 с рассматривая мы точками. Угловое ускорение колеса выходит против часовой стрелки и соответствует

Ε3 = аВ / r3 = 74,23 рад/с2.

Ускорение точки С, за полюс примем точку В,

  С = В + НСВ + ТСВ, и для точек М. Е. Р3 находим по аналогии.

Касательное и нормальное ускорения точки при вращении колеса относительно точки В:

АНСВ = ω2 3 r3 = 19,76 м/с2, аТСВ = ε3 r3 = 7,42 м/с2.

Вектор НСВ имеет направление от точки С до точки В — полюс, а вектор ТСВ — в сторону ε3 перпендикулярно ВС. Аналогично определяем ускорение точек М. Е. Р3.

3.Питання для самоконтроля.

1. Привести примеры плоскопараллельного движения.

2. Тело движется плоскопараллельной. Может равняться нулю
Скорость любой точки этого тела?

3. Какими уравнениями определяют плоско параллельное движение?

4. В виде суммы которых двух движений можно представить плоско параллельное движение?

5. Как определить скорость произвольной тлчкы движущегося тела плоско параллельно, через скорость полюса?

6. Дать определение мгновенного центра скоростей.

7. Как найти положение мгновенного центра скоростей, если
Известны скорости двух точек плоской фигуры?

8. Где находится мгновенный центр скоростей тела,
Вращается вокруг неподвижной оси?

9. Где находится мгновенный центр скоростей тела, если
скорости трех его точек, не лежащих на одной прямой, параллельны?