= F (, , , …….). (5.2)

Если точность прямых измерений достаточно высока, т. е. Dx <<, Dy <<, D z << , … , то погрешности результатов прямых измерений переносятся на результат косвенного измерения как независимые нормальные распределения f вокруг По каждому из аргументов функции (5.1). Строгое обоснование этого утверждения можно найти в математической статистике. Погрешность измерения f вследствие малых случайных вариаций

Только величины X: DFx=Fx 'DX,

Только величины Y: DFy = fy 'DY , (5.3)

Только величины Z: DFz = fz 'DZ , и т. д.

Здесь Fx ', fy', fz '……. — Производные функции F (x, y, z, …)По соответствующих переменных, что является частными производными и обозначаются как

, , , ……

Аргументами в вычисленных производных (5.3) служат оценки средних значений , , …… .

Совместное распределение f вокруг, учитывающий отдельные распределения по каждому из аргументов (5.1), должен определять погрешность косвенного измерения Df. Эти распределения нормальные и независимые, поэтому дисперсия их совместного распределения равна сумме их дисперсий, строго доказано в математической статистике. Тогда среднее квадратическое отклонение общего распределения, вычисляется как корень из дисперсии, следует находить из выражения:

(5.4)

Это выражение имеет общий характер и его можно использовать для оценки погрешности косвенного измерения, выполненного при любом виде функции f (x, y, z, …). Однако следует твердо помнить, что при непосредственных расчетах в (5.4) необходимо подставлять погрешности Dx, Dy, Dz…, найденные для того же значения доверительной вероятности. Погрешность косвенного измерения Также будет соответствовать этому значению доверительной вероятности. Рекомендуется использовать значение вероятности a = 0,68. Применим (5.4) к некоторых распространенных зависимостей. Интерес представляют те случаи, когда с помощью (5.4) удается установить функциональную связь между погрешностями прямых измерений и погрешностью косвенного измерения. Таблица 5.1 содержит выражения, задающие такую связь.

Таблица 5.1-Связь погрешностей прямых и косвенных измерений.

В таблице приняты следующие обозначения: D — для абсолютной погрешности d — для относительной погрешности, A, B, C, a, b, g — постоянные, x, y, z, j-результаты прямых измерений, f — результат косвенного измерения.

Как пример к рассмотренного материала проведем обработку результатов эксперимента по измерению ускорения свободного падения g. В нем выполнены многократный прямое измерение времени падения t стального шарика с высоты h (двенадцатый этаж высотного дома), также определена многократным прямым измерением (см. пример предыдущего раздела). Экспериментальные результаты:

T = (2,43 ± 0,11) c, h = (28,85 ± 0,20) г.

Рабочая формула для g имеет вид .

Согласно (5.2)

Поскольку производные вычисляются как

, , то согласно (5.4)

Чтобы не выполнять вычисления производных g'h и g't, погрешность Dg можно найти с помощью второй строки табл.5.1, т. к. рабочая формула может быть записана в виде g = 2ht-2.

Тогда

Dg2 = dstrong +4 dt2 = (0,0069) 2 +4 (0,0453) 2 = 0,0083

Dg = 0,091,

Dg = gdg = 9,77 * 0,091 = 0,89 м/с2.

После округления окончательный результат косвенного измерения в стандартной форме:

G = (9,8 ± 0,9) м/с2.

Из анализа погрешностей эксперимента видно, что основной вклад в Dg дает Dt. Поэтому повышение точности измерения ускорения свободного падения возможно только после увеличения точности измерения времени падения шарика.

6. Порядок действий при вычислении окончательных результатов прямых и косвенных измерений

Приводим детальный свод операций, выполняемых при обработке результатов измерений различных типов. Содержание всех описываемых действий подробно рассмотрен в предыдущих разделах. Проведенные расчеты основываются на предположении о нормальном распределении погрешностей, когда систематические погрешности уже учтены на предыдущих этапах работы с экспериментальными данными.