bannerka.ua

Первичная обработка данных — № 4

4. Погрешности прямых измерений

Рассмотрим ситуацию, наиболее типичную при выполнении физического эксперимента. Допустим, многократным прямым измерением полученные n значений постоянной величины x:

X1, x2, ….., xi, ……, xn. (4.1)

Все отдельные измерения выполнены одним методом с одинаковой степенью тщательности (Их называют одинаково точными), Но результаты имеют разброс, т. е. измеренные значения величины отличаются одно от другого. Хотя не исключено, что среди них могут оказаться и одинаковы. Набор данных (4.1) подлежит совместной обработке для определения окончательного результата многократного измерения и оценки его погрешности.

Прежде всего должны быть обнаружены промахи, а соответствующие им результаты отвергнуты. С этой целью следует очень внимательно просмотреть таблицы результатов, обращая внимание на «неестественные» значения измеряемой величины, резко отличающиеся от других.

Следующим этапом обработки является выявление систематических погрешностей вычисляют и учитывают в виде поправок к результатам.

Когда промахи и систематические погрешности устранены, в данных (4.1) остается учесть только случайные и погрешности прибора. Перейдем к изучению правил работы с ними.

4.1. Случайные погрешности

Случайные погрешности, как уже отмечено, оказываются в разбросе результатов отдельных измерений постоянной величины. Для определения разброса (и оценки погрешности результата отдельного измерения), необходимо вычислить среднее квадратическое отклонение, находят по (3.4). С увеличением количества измерений n оценка значения величины s практически перестает зависеть от n, а это значит, что значение s известно точнее, а значит, в итоге уменьшается неточность при оценке погрешности отдельного измерения. С ростом n также стабилизируется оценка Первичная обработка данных - № 4, что находится по формуле (3.2). Следовательно, должна уменьшаться погрешность окончательного результата многократного измерения, за который принимают среднее значение Первичная обработка данных - № 4.

Связь среднего квадратического отклонения s (Первичная обработка данных - № 4) Окончательного результата (другими словами, погрешности определения среднего значения) и среднего квадратического отклонения s отдельного измерения задает соотношение

Первичная обработка данных - № 4 (4.2)

Важным практическим выводом из (4.2), относящийся к многократным измерений, содержащие только случайные ошибки, является вывод о возможности уменьшить погрешность окончательного результата при увеличении количества n отдельных измерений. Однако также следует помнить, что повышение точности никогда не дается даром. Так, чтобы узнать дополнительную значимую цифру в Первичная обработка данных - № 4, т. е. повысить точность в 10 раз, количество измерений необходимо увеличить в 100 раз!

Рассмотрим самый распространенный случай нормального распределения как результатов отдельных измерений xi, так и среднего значения. За оценку погрешности окончательного результата многократного измерения примем величину Dx, задающий симметричен относительно интервал значений от - DX К + DX , что называется Доверительным интервалом .

Вероятность найти значение измеряемой величины в указанном интервале называется Доверительной вероятностью a:

Первичная обработка данных - № 4. (4.3)

Нормальное распределение описан в предыдущем разделе. Для него в табл.1 Приложения приведены доверительные вероятности для доверительных интервалов, размеры которых выражены в долях среднего квадратического отклонения

Первичная обработка данных - № 4. (4.4)

Если понятие доверительного интервала использовать применительно к отдельного измерения, то в (4.4) под SТабл следует понимать среднее квадратическое отклонение s результата этого отдельного измерения. Если же отнести доверительный интервал к многократному измерения, то под SТабл необходимо пидрозумиваты среднее квадратическое отклонение окончательного результата Первичная обработка данных - № 4Многократный измерения, т. е. s (Первичная обработка данных - № 4). С помощью указанной таблицы случайную погрешность окончательного результата можно найти, воспользовавшись записью

(Dx) вып = es (Первичная обработка данных - № 4) =Первичная обработка данных - № 4, (4.5)

Где величину E берут из таблицы для заданного значения доверительной вероятности.

Значение случайной погрешности однозначно определено только после задания двух численных значений: значение доверительного интервала, является оценкой погрешности, и соответствующего значения доверительной вероятности. Просто «погрешность» не существует, потому что по умолчанию соответствующей ей доверительной вероятности неизвестно насколько надежным полученный результат.

Часто вместо (4.3) используют запись

X = ± Dx, a = ….

Сделаем основной вывод: увеличение надежности результата измерения является следствием расширения доверительного интервала, хотя, на первый взгляд, происходит совсем обратное. Но чем шире доверительный интервал, тем вероятнее, что измеряемая величина не находится за его пределами! Выбор конкретного значения доверительной вероятности зависит от характера выполняемых измерений. При обычных измерениях достаточно ограничиться вероятностью 0,68 или 0,95 — им соответствуют значения e уровне 1 и 2. Для измерений, к которым предъявляют высокие требования по надежности, следует использовать A = 0,997 , которому соответствует e = 3 (так называемое Правило трех стандартов). При обработке результатов экспериментальных работ рекомендуется применять доверительную вероятность a = 0,68, поэтому нет необходимости использовать ее в записи x = ± Dx. Более того, A= 0,68 — Принятый в мировой практике уровень доверительной вероятности, никогда не оговаривают специально.

В эксперименте значение s (Первичная обработка данных - № 4) Оценивают исходя из результатов отдельных измерений, количество которых обычно не превышает 5 — 10. Поэтому точность оценки s (Первичная обработка данных - № 4) Невелика. Это вносит дополнительную неопределенность в окончательный результат многократного измерения. Чтобы ее учесть, стоит расширить границы доверительного интервала, заданного выше для точно известной величины s (Первичная обработка данных - № 4). Понятно, что меньшей Количества отдельных измерений должен сопоставляться более широкий доверительный интервал. Вместо (4.5) необходимо использовать другое выражение

(Dx) вып = t (a, n) s (Первичная обработка данных - № 4), (4.6)

Где t (α, n) — коэффициенты, зависящие от полного количества измерений n и заданного значения доверительной вероятности α. Величины t (a, n) называются коэффициентами Стьюдента. Они вычислены в статистике для различных значений a и n — их можно найти в табл.2 приложений.

В таблице значение коэффициента находится на пересечении строки с количеством отдельных измерений n и столбца с выбранным значением доверительной вероятности a. Изучив таблицу, несложно заметить, что при увеличении количества измерений коэффициенты практически совпадают с использованными выше величинами e для того же значения доверительной вероятности a. Это следствие перехода от оценок параметров нормального распределения к их точного задания, что реализуется только при очень большом количестве выполненных измерений.

4.2. Погрешности приборов

Возникновения погрешностей приборов обусловлено свойствами используемых измерительных приборов. Погрешность каждого конкретного прибора является систематической, но ее значение обычно неизвестно, а значит, ее невозможно исключить введением в результат измерения соответствующей поправки. В паспорте прибора принято указывать границу допустимой погрешности q, что означает максимально возможную погрешность при рекомендуемых условиях работы прибора. Если погрешность прибора была распределена по нормальному закону, то из такого определения q следовало бы, что распределение характеризуется средним квадратическим отклонением sприл = Первичная обработка данных - № 4.

Для электроизмерительных стрелочных приборов принято указывать Класс точности , записываемый в виде числа, например, 0,05 или 4,0. Это число дает максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора. Так, для вольтметра, работающего в диапазоне измерений 0 — 30 В, класс точности 1,0 определяет, что указанная погрешность при положении стрелки в любом месте шкалы не превышает 0,3 В. Соответственно, среднее квадратическое отклонение s прил составляет 0 , 1 В.

Относительная погрешность результата, полученного с помощью указанного вольтметра, зависит от значения измеряемого напряжения, становясь недопустимо высокой для малых напряжений. При измерении напряжения 0,5 В погрешность составит 20%. Как следствие, такой прибор не годится для исследования процессов, в которых напряжение меняется на 0,1 — 0,5 В.

Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с погрешностью самого прибора. Если класс точности используемого прибора неизвестен, за погрешность sприл всегда принимают половину цены меньшего разделения. Понятно, что при считывании показаний со шкалы нецелесообразно пытаться определить доли деления, так как результат измерения от этого не станет точным.

Указанным образом необходимо работать с линейками и шкалами других приборов, в том числе с сеткой на экране осциллографа. Например, на экране осциллографа нанесена сетка с размерами ячейки 10×10 или 5×5 мм, а для отсчета малых распределений есть дополнительная миллиметровая сетка. Погрешность отсчета по сетке составит не менее 0,5 мм. Если размеры изображений, наблюдаемых порядка 5 — 10 мм, им соответствует погрешность 5-10% то осциллограф нельзя использовать для более точных измерений.

Предел допустимой погрешности цифрового измерительного прибора рассчитывают по паспортных данных, содержащие формулу для расчета погрешности именно данного прибора. При отсутствии паспорта за оценку погрешности sприл принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора. Так, получаемой на индикаторе частоте 161,2 кГц погрешность частотомера оценивают как 0,1 кГц.

4.3. Суммарная погрешность

Окончательный результат многократного измерения включает в себя как случайную, так и погрешность прибора. Случайная погрешность уменьшается с увеличением количества отдельных измерений, а погрешность прибора не меняется, оставаясь в пределах ± q. При выполнении многократного измерения желательно получить столько отдельных измерений, сколько необходимо для выполнения соотношения

(Dx) вып << q.

В таком случае погрешность окончательного результата будет вполне определена лишь погрешностью прибора. Однако чаще встречается ситуация, когда случайная погрешность и погрешность прибора близкие по значению, а потому обе влияют на окончательный результат. Тогда их необходимо учитывать совместно и по суммарную погрешность принимают

Первичная обработка данных - № 4. (4.7)

Поскольку случайную погрешность обычно оценивают по доверительной вероятностью 0,68, а q — оценка максимальной погрешности прибора, то можно считать, что выражение (4.7) задает доверительный интервал также с вероятностью не менее 0,68. При выполнении однократного измерения оценке погрешности результата служит Dx = q / 3, учитывающий только предельно допустимую погрешность прибора.

Встречаются ситуации, когда случайную погрешность и погрешность прибора удается сравнить без вычислений (Dx) вып. Это возможно, если результаты отдельных измерений не выходят за пределы допустимой погрешности прибора:

(Xmax — xmin) <= 2q,

Где xmax, xmin — наибольшее и наименьшее значения измеряемой величины. Повышение точности многократного измерения в таком случае невозможно, а погрешностью окончательного результата q / 3.

4.4. Учет погрешности в записи окончательного результата измерения

Завершением обработки данных многократного прямого измерения при заданной доверительной вероятности есть два числа: среднее значение измеряемой величины, найденное согласно (3.2), и его погрешность (полуширина доверительного интервала), оцениваемая с помощью (4.2), (4.6) и (4.7). Оба числа является окончательным результатом многократного измерения и должны быть совместно записанные в Стандартной форме

Tagged with: , , ,
Posted in Основы научных исследований и техничнои творчества
1 Comment » for Первичная обработка данных — № 4
  1. Статистическая обработка данных в MS Excel -на http://arhiuch.ru

1 Pings/Trackbacks for "Первичная обработка данных — № 4"

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Перечень предметов
  1. Бухучет в ресторанном хозяйстве
  2. Введение в специальность 4к.2с
  3. Высшая математика 3к.1с
  4. Делопроизводство
  5. Информационные технологии в области
  6. Информационные технологии в системах качества стандартизаціісертифікаціі
  7. История украинской культуры
  8. Математические модели в расчетах на эвм
  9. Методы контроля пищевых производств
  10. Микробиология молока и молочных продуктов 3к.1с
  11. Микропроцессорные системы управления технологическими процессами
  12. Научно-практические основы технологии молока и молочных продуктов
  13. Научно-практические основы технологии мяса и мясных продуктов
  14. Общая технология пищевых производств 4к.2с
  15. Общие технологии пищевых производств
  16. Организация обслуживания в предприятиях ресторанного хозяйства
  17. Основы научных исследований и техничнои творчества
  18. Основы охраны труда
  19. Основы пидприемницькои деятельности и агробизнеса
  20. Основы физиологии и гигиены питания 3к.1с
  21. Пищевые и диетические добавки
  22. Политология
  23. Получения доброкачественного молока 3к.1с
  24. Прикладная механика
  25. Прикладная механика 4к.2с
  26. Теоретические основы технологии пищевых производств
  27. Технологический семинар
  28. Технологическое оборудование для молочной промышленности
  29. Технологическое оборудование для мьяснои промышленности
  30. Технология продукции предприятий ресторанного хозяйства
  31. Технология хранения консервирования и переработки молока
  32. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
  33. Технохимическому контроль
  34. Управление качеством продукции ресторанного хозяйства
  35. Физика
  36. Физическое воспитание 3к.1с
Возможно Вы искали: