К разряду модельных может быть отнесена погрешность взвешивания на рычажной весе. Согласно закону Архимеда вес тела и гирь уменьшается из-за действия силы воздуха выталкивает. Напомним, что 1 м3 воздуха весит примерно 10 Н. Для того, чтобы правильно найти массу тела, решается, опять же, нужно ввести поправку на потерю веса гирями и самим телом. Вместе с тем, как и при любых измерениях, здесь необходим разумный подход. Например, при работе с грубыми техническими весами бессмысленно вводить поправку на архимедова силу, потому что она окажется намного меньше ошибок, внесенных в результат измерения гирями и самими весами.

Следует особо отметить, что модельные погрешности являются наиболее сложными для анализа и учета.

2.3. Случайные погрешности.

Из самого названия следует, что при повторных измерениях погрешности этого типа демонстрируют свою случайную природу. Возникают они вследствие множества причин, совместное влияние которых на каждый отдельный измерение невозможно учесть или заранее установить. Такими причинами могут оказаться, например, незначительные колебания температуры различных деталей и узлов установки, скачки напряжения, вибрации, турбулентные движения воздуха, трения в механизмах, ошибки считывания показаний приборов и т. п. Единственно возможный способ объективного учета случайных погрешностей состоит в определении их статистических закономерностей, проявляющихся в результатах многократных измерений. Рассчитаны статистические оценки вносят в окончательный результат измерения.

3. Статистическое распределение случайной величины

Основным типом погрешностей, изучению которых посвящен следующий изложение, есть случайные погрешности. Они подвергаются строгому математическому описанию, позволяющий судить о качестве измерений, в которых они присутствуют. Погрешности других типов более сложные для анализа, их выявляют и анализируют только в условиях конкретного эксперимента. Чтобы знать, как следует работать со случайными погрешностями, сначала рассмотрим приемы статистического описания случайных величин.

3.1. Получение распределения случайной величины и его описание

Рассмотрение начнем с предполагаемого эксперимента, в котором выполняют многократные прямые измерения какой-то случайной физической величины, проведенные без изменения условий эксперимента. Закономерности в поведении величины видны из гистограммы. Гистограмма — Ступенчатая диаграмма, показывающая как часто при измерениях появляются результаты, которые попадают в тот или иной интервал DX между наименьшим Xmin и крупнейшим Xmax из измеренных значений величины x. Гистограмму строят в следующих координатах: по оси абсцисс откладывают измеряемую величину x, по оси ординат — Dn / (nDx) (рис.3.1). Здесь n — полное количество проведенных измерений, Dn — количество результатов, попавших в интервал [x, x + Dx].

Рисунок 3.1 — Гистограмма

Отношение Dn / n есть доля результатов, оказавшихся в указанном интервале. Оно имеет смысл вероятности попадания результата отдельного измерения в данный интервал. Выражение Dn / (nDx), получаемый после распределения Dn / n на ширину интервала Dx, приобретает смысл плотности вероятности.

При очень большом количестве измерений () Весь диапазон изменения величины x можно разбить на бесконечно малые интервалы dx, как это делается в математике, и найти количество результатов dn в каждом из них. В этом случае гистограмма превратится в плавную кривую — график функции

. (3.1)

Такую функцию называют Плотностью вероятности, или Распределением вероятности, иногда — просто делением величины x. Примеры конкретных распределений можно найти на рис.3.2.

Распределение выступает в роли исчерпывающей характеристики случайной величины. Закон распределения можно задать в виде функционального выражения, графика, таблицы или каким-то другим способом. При любом варианте задания устанавливается связь между вероятностью того, что результат однократного измерения случайной величины попадет в заданный интервал возможных значений, и шириной этого интервала.

Распределение содержит наиболее полную информацию о случайную величину, однако пользоваться им не всегда удобно. Оперируя результатам проведенного эксперимента, вместо функции распределения лучше иметь привычные числовые величины — ими являются Среднее значение и дисперсия.

Среднее значение Измеряемой величины x указывает центр распределения, у которого группируются результаты отдельных измерений

. (3.2)

Дисперсию вводят как средний квадрат отклонения отдельных результатов от среднего значения случайной величины

. (3.3)

Среднее квадратическое отклонение, который называют также Стандартным, определяют как квадратный корень из дисперсии

(3.4)

Как следует из способа вычисления, эта величина характеризует разброс результатов отдельных измерений вокруг среднего значения, получаемого после обработки всех данных многократного измерения. Конечно, точные значения s и Есть предельными величинами, так как могут быть получены только тогда, когда полное количество проведенных измерений достаточно велика, в границы при . При конечных n вернее использовать термин Экспериментальная оценка, что в равной степени относится и к среднему значению, и к дисперсии.

Обратим внимание на знаменатель выражений (3.3) и (3.4), который превращается в нуль при n = 1. Насколько это правильно? Ведь в этом случае, казалось бы, s2 и sстають бесконечно большими. Обратимся к реальной ситуации, что соответствует n = 1, т. е. к эксперименту, в котором выполнено только одно измерение x1 величины x. Его недостаточно, чтобы построить гистограмму и найти из нее s2.Виходить, s2 и sвиявляються вполне неопределенными вследствие недостаточности экспериментальной информации. Выражения (3.2) — (3.4) учитывают приведены понятия: если n = 1, из (3.2) получают И, как следствие, числитель и знаменатель в (3.3) и (3.4) одновременно превращаются в ноль. Это свидетельствует об ожидаемой неопределенность значения x. Строгое обоснование справедливости приведенных выражений делается в математической статистике.

Отметим, что среднее значение случайной величины можно расценивать как однозначный результат измерения. Иначе надо было бы думать, что случайная величина всегда имеет только одно постоянное значение, чего не может быть в действительности через ее случайную природу. Случайные факторы, характеризующие форму распределения случайной величины, не связаны только с возможной неточностью измерительных приборов, а значит, среднее квадратическое отклонение σ, описывающий форму распределения, объективно отражает характер поведения исследуемой случайной величины.

3.2. Нормальное распределение

Если, кроме характерных для распределения значений величин И s, известный функциональный вид распределения случайной величины, то можно получить полную информацию о вероятности реализации случайной величины в любом заданном интервале значений. Рассмотрим это на примере нормального, или гауссова распределения, отражает ситуацию, наиболее часто встречается в природе. Как следствие, ему характерна особая роль, что объясняется тем, что при обработке данных измерений в науке и технике обычно предполагают нормальный закон распределения случайных погрешностей измерений.

В пользу применения нормального распределения веские основания. А именно, он всегда оказывается тогда, когда суммарная погрешность результатом неучтенного совместного воздействия целого ряда причин, каждая из которых дает малый вклад в погрешность. Причем совершенно неважно, по какому закону распределен каждый из взносов отдельно.

Нормально распределенная случайная величина имеет следующие свойства:

1. Она может принимать вид сплошного ряда значений от — ¥ до + ¥.

2. Центр распределения случайной величины одновременно является центром симметрии, т. е. одинаковые отклонения результатов измерения в меньшую и большую стороны от центра встречаются одинаково часто.

3. Малые отклонения встречаются чаще крупных, другими словами, реализуются с большей вероятностью.

Соответствующий функциональный выражение для распределения задает формула Гаусса

, (3.5)

ГдеИ σ соответствуют использованным в (3.2) — (3.4), выражение exp (y) = ey — экспонента, в которой e = 2,71828 — основа натуральных логарифмов. Кривые нормального распределения для трех значений s (1, 0,5 и 0,25) и одинакового = 3 приведены на рис.3.2.

Рисунок 3.2 — Нормальное распределение для = 3; s = 0,25, 0,5 и 1

Распределение, задается функцией Гаусса, симметричный относительно максимума, находящегося при x = . Значение функции в максимуме

. (3.6)

Значение аргумента x, при котором плотность вероятности максимальна, является наиболее вероятным при реализации случайной величины. Итак, - Оценка наиболее вероятного значения случайной величины, распределенной по нормальному закону. Согласно (3.6) значения функции Гаусса в максимуме уменьшается с увеличением σ. Одновременно кривые на графике становятся более пологими, но полная площадь под кривой остается при этом неизменной.

Воспользуемся выражением (3.1) и получим из него

Это соотношение означает, что вероятность попадания результата отдельного измерения в бесконечно малый промежуток dx равна площади под кривой распределения на этом промежутке. Если расширить промежуток до конечной величины [x1, x2], то площадь под кривой даст вероятность p попадания результата измерения уже в конечный промежуток. Вероятность, как площадь, математически выражается интегралом

. (3.7)

В скобках после p указанная событие, для которой вычислена вероятность. При раздвигании границ промежутка в обе стороны до бесконечности интеграл от функции распределения

Содержание этого равенства заключается в том, что вероятность достоверного события равна единице. Достоверным событием в рассматриваемой ситуации является реализация некотором случайной величины (от — ∞ до + ∞) в результате ее однократного измерения. Интегралы от функции Гаусса для различных пределов интегрирования вычислены и заданы в виде детальных таблиц. Для проведения анализа распределения обычно используют симметричный относительно Интервал-Dx, +Dx, где Dx-произвольное отклонение от среднего. В табл.1 Приложения этот интервал введен через e — величину отношения полуширина интервала Dx до среднеквадратического отклонения σ:

. (3.8)

В таблице указана вероятность a

. (3.9)

Ее можно рассчитать по приближенному выражению, полученному из (3.7):

.

Однако проще запомнить несколько полезных цифр.

Содержание соотношений (3.10) заключается в установлении связи между шириной интервала ± Dx вокруг И вероятностью попадания измеренного значения случайной величины в этот интервал, если величина распределена по нормальному закону. Так, результат измерения с вероятностью 68% попадет в интервал [- σ, + σ], то есть примерно каждый третий измерение даст результат за пределами этого интервала. За пределами интервала [-2σ, +2 σ] окажется один результат из двадцати, а для интервала-3σ, +3 σ — только один из трехсот. Получается, интервал ± 3σ всегда почти достоверным, потому что подавляющее большинство отдельных результатов многократного измерения случайной величины окажется сосредоточенной именно в нем. Опережая ход изложения, заметим, часто используемое при измерениях правило 3σ, или правило трех стандартов, основано на указанной свойства нормального распределения. С учетом проведенного выше анализа, можно установить наличие промаха в результате отдельного измерения, а значит, отвергнуть его, если результат измерения более чем на 3σ отличается от измеренного среднего значения случайной величины.