bannerka.ua

Определенный интеграл

3. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

Применение определенного интеграла к задачам геометрии, к экономическим расчетам.

План:

1. Определенный интеграл.

2. Вычисления определенного интеграла.

3. Применение определенного интеграла к задачам геометрии, к экономическим расчетам.

§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла

Определенный интегралК понятию определенного интеграла приводят многие задачи геометрии, физики, естествознания, экономики и т. д..

Определения. Пусть функция Определенный интегралНепрерывна и неотъемлемая на отрезке [a; b]. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми Определенный интеграл, называется криволинейной трапецией.

Понятие криволинейной трапеции обобщающее понятие прямолинейной трапеции. Отрезки aA, bB могут вырождаться в точки. Рисунки показывают, что многие фигуры школьного курса геометрии является криволинейной трапеции или их комбинациями.

Определенный интеграл

Дадим определение нашем интуитивном представлению о площади криволинейной трапеции. Для этого точками

Определенный интеграл

Разобьем произвольно отрезок [a; b] на отрезки Определенный интеграл. На каждом отрезке разбиения произвольно возьмем по одной точке: Определенный интегралОпределенный интегралИ построим прямоугольники с основой Определенный интегралИ высотой Определенный интеграл. Полосу криволинейной трапеции с основанием Определенный интегралЗаменим прямоугольником с таким же основанием и высотой Определенный интегралОпределенный интеграл. В результате получим ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников. Очевидно, что чем меньше отрезки (T) — разбиение, тем более ступенчатая фигура приближается к криволинейной трапеции.

Число Определенный интеграл, где Определенный интегралДает площадь ступенчатой фигуры, и его естественно считать приближенным значением площади криволинейной трапеции. А за площадь криволинейной трапеции естественно принять границу чисел S (T), когда Определенный интеграл:

   Определенный интеграл(1)

Определенный интегралВ курсе матичных анализа доказывается, что для непрерывной функции Определенный интегралГраница (1) всегда существует. К вычислению границ типа (1) приводит много других задач, например, вычисления пути прямолинейного движения по известной скоростью V (t) в течение времени от момента Определенный интегралК Определенный интеграл:

Определенный интеграл.

Поэтому границы вида (1) изучают специально. Абстрагируясь от конкретного содержания функции Определенный интеграл,приходим к такого определения.

Определения. Пусть функция Определенный интегралЗаданная на отрезке [a; b]. Точками Определенный интегралПроизвольно разобьем отрезок [a; b] на части Определенный интеграл. Обозначим Определенный интегралОпределенный интеграл. На кожномувидризку Определенный интегралПроизвольно возьмем по одной точке Определенный интегралИ создадим сумму Определенный интеграл

Если при Определенный интегралСуществует предел сумм S (T), которая не зависит от способа разбиения (T) и выбора точек Определенный интеграл, то эту границу называют определенным интегралом функции Определенный интегралНа отрезке [a; b] и обозначают символом Определенный интеграл.

Таким образом, Определенный интеграл.(2)

Запись (2) на языке Определенный интегралОзначает, что для произвольного числа Определенный интегралСуществует число Определенный интегралТакое, что для всех (T) — разбиений отрезка [a; b], в которых Определенный интегралИ для произвольного выбора точек Определенный интегралВыполняется неравенство

  Определенный интеграл(3)

Суммы S (T) называют интегральными суммами функции Определенный интеграл, составленным для заданного (T) — разбиение отрезка [a; b] и взятого набора точек Определенный интеграл.

С определений определенного интеграла и площади криволинейной трапеции следует, что площадь криволинейной трапеции выражается формулой

Определенный интеграл(4)

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Аналогично, длина пути прямолинейного движения вычисляется по формуле

Определенный интеграл(5)

Равенство (5) выражает механический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл называют также интегралом Римана (Г. Риман (1826 — 1866) — немецкий Матик).

Имеет место следующая теорема о существовании определенного интеграла.

Теорема. Если функция Определенный интегралНепрерывна на отрезке [a; b], то ее определенный интеграл существует.

§ 2. Свойства определенного интеграла

Теорема. Если функции Определенный интегралИнтегрируемых по Риману на отрезке [a; b], то имеют место следующие свойства:

Определенный интеграл1 º. Определенный интеграл, где c — произвольное действительное число.

2 º. Определенный интеграл.

3 º. Определенный интеграл, для произвольного Определенный интеграл.

4 º. Если Определенный интегралДля произвольного действительного числа Определенный интеграл, то Определенный интеграл.

Заметим, что в свойстве 1 º на число c не накладывается ограничение Определенный интеграл, как в неопределенном интеграле, поскольку определенный интеграл есть число.

Свойство 4 º означает, что неравенства можно интегрировать. Аналогичного свойства для производной нет. Так, с правильной неравенства Определенный интегралДля произвольного числа Определенный интегралНе следует, что Определенный интеграл, поскольку Определенный интеграл, а Определенный интегралНа интервале Определенный интеграл.

Определенный интегралПо определению считают, что Определенный интегралДля произвольной функции и Определенный интеграл, если a> b.

Теорема. Если функция Определенный интегралНепрерывна на отрезке [a; b], то существует точка Определенный интегралТакая, что Определенный интеграл.

Эту теорему примем без доказательства. Ее называют теоремой о среднем значении функции, поскольку число Определенный интегралПо определению, называют средним значением функции Определенный интегралНа отрезке [a; b].

Геометрически теорема в случае неотъемлемой функции Определенный интегралОзначает, что существует прямоугольник с основанием [a; b] и высотой f (c), площадь которого равна площади криволинейной трапеции.

§ 3. Вычисления определенного интеграла

3.1. Вычисление определенного интеграла по определению

По определению можно вычислять простые определенные интегралы. Например,

Определенный интеграл,

Поскольку Определенный интегралЯвляется длиной отрезка [a; b].

3.2. Формула Ньютона — Лейбница

Теорема. Если функция Определенный интегралНепрерывна на отрезке [a; b], то

Определенный интеграл,(6)

Где F (x) — одна из первоначальных функции Определенный интеграл.

Формула (6) называется формулой Ньютона — Лейбница.

По формуле (6) вычисления определенного интеграла сводится к нахождению первоначальной для подинтегральной функции. Однако ею следует пользоваться осторожно, сначала убедившись в непрерывности функции Определенный интеграл. Формальное применение Формулы (6) может привести к ошибкам.

Так, для интеграла Определенный интегралПервоначальная подинтегральной функции равна Определенный интегралИ Определенный интеграл, что противоречит свойства, поскольку Определенный интегралИ Определенный интеграл.

В приведенном исчислении Определенный интегралДопущены две ошибки:

1) данный интеграл не существует, поскольку подынтегральная функция ограничена на отрезке [-1, 1];

2) подынтегральная функция разрывная в точке Определенный интеграл, ноОпределенный интегралИ поэтому формулу (6) применять нельзя, поскольку не выполнены условия теоремы.

Разницу Определенный интегралКороче обозначают так Определенный интеграл.

Пример. Вычислить Определенный интеграл.

Решения. Используя формулу Ньютона — Лейбница, имеем:

    Определенный интеграл.

3.3. Вычисление определенного интеграла частями

Теорема. Если функции U = U (x) и V = V (x) непрерывные на отрезке [a; b] вместе со своими производными U '(x) и V' (x), то справедлива формула

  Определенный интеграл(7)

Пример 5.2. Вычислить Определенный интеграл.

Решения. По формуле (7) имеем:

Определенный интегралОпределенный интеграл

3.4. Вычисление определенного интеграла подстановкой

Теорема. Пусть функция Определенный интегралНепрерывна на отрезке [a; b], функция Определенный интегралНепрерывная вместе с производной Определенный интегралНа отрезке Определенный интеграл, причем Определенный интеграл, когда Определенный интеграл. Тогда

    Определенный интеграл(8)

Заметим, что в формуле (8) не обязательно возвращаться к переменной x как это было в неопределенном интеграле.

Пример. Вычислить площадь круга радиуса R.

Решения. Поскольку круг Определенный интегралСимметричен относительно осей Ox и Oy, то достаточно вычислить площадь четверти круга в первом квадранте. Имеем

Определенный интеграл.

Для вычисления этого интеграла используем подстановку Определенный интеграл. Тогда Определенный интегралПри Определенный интегралПри Определенный интегралИ

Определенный интеграл

Поскольку Определенный интегралНа отрезке Определенный интеграл. Тогда

Определенный интегралОпределенный интеграл

§ 4. Геометрические применения определенного интеграла

4.1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах

Определенный интегралПусть плоская фигура D ограничена линиями Определенный интегралОпределенный интеграл, Определенный интеграл, где функции Определенный интегралИ Определенный интеграл— Непрерывные на отрезке [a; b], причем Определенный интегралДля каждого Определенный интеграл. тогда площадь S этой фигуры можно вычислить по формуле

Определенный интеграл.(9)

Формула (9) очевидна для фигуры D, размещенной в верхней полуплоскости, поскольку в этом случае она является разностью двух криволинейных трапеций. Можно показать, что она справедлива и в общем случае. Если Определенный интеграл, то с Формулы (9) следует формула для площади криволинейной трапеции.

Определенный интегралПример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Определенный интегралИ Определенный интеграл.

Решения. Решаем систему уравнений Определенный интегралИ находим, что данные кривые пересекаются в точках Определенный интегралОпределенный интегралОпределенный интеграл. Фигура D симметрична относительно начала координат, поскольку функции Определенный интегралИ Определенный интегралНечетные на отрезке Определенный интеграл. Поэтому по формуле (9) имеем

Определенный интеграл.

4.2. Вычисление объемов тел с известными площадями параллельных сечений

Пусть тело (T) такое, что известные площади S (x) его параллельных сечений, причем функция S (x) непрерывна на отрезке [a; b].

Определенный интегралТогда его объем V (T) можно вычислить по Формуле

Определенный интеграл.(10)

Формулу (10) принимаем без доказательства. Если тело (T) есть тело вращения вокруг оси OX, то из формулы (10) следует, что

Определенный интеграл,(11)

Поскольку в этом случае Определенный интеграл, где f (x) — функция, задающая кривую y = f (x), Определенный интеграл, от вращения которой вокруг оси OX образуется тело вращения.

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом Определенный интеграл.

Решения. Используем уравнение эллипсоида Определенный интеграл. Сечением эллипсоида с плоскостью Определенный интеграл, где Определенный интегралЕсть эллипс Определенный интеграл, площадь Определенный интегралКоторого равна Определенный интеграл, где Определенный интеграл, Определенный интеграл, есть Определенный интеграл. следовательно, для любого числа x, где Определенный интеграл, получим:

Определенный интеграл

ТогдаОпределенный интегралОпределенный интеграл.

При a = b = c имеем уравнение сферы, и поэтому объем шара Определенный интеграл.

Tagged with:
Posted in Высшая математика 3к.1с
Перечень предметов
  1. Бухучет в ресторанном хозяйстве
  2. Введение в специальность 4к.2с
  3. Высшая математика 3к.1с
  4. Делопроизводство
  5. Информационные технологии в области
  6. Информационные технологии в системах качества стандартизаціісертифікаціі
  7. История украинской культуры
  8. Математические модели в расчетах на эвм
  9. Методы контроля пищевых производств
  10. Микробиология молока и молочных продуктов 3к.1с
  11. Микропроцессорные системы управления технологическими процессами
  12. Научно-практические основы технологии молока и молочных продуктов
  13. Научно-практические основы технологии мяса и мясных продуктов
  14. Общая технология пищевых производств 4к.2с
  15. Общие технологии пищевых производств
  16. Организация обслуживания в предприятиях ресторанного хозяйства
  17. Основы научных исследований и техничнои творчества
  18. Основы охраны труда
  19. Основы пидприемницькои деятельности и агробизнеса
  20. Основы физиологии и гигиены питания 3к.1с
  21. Пищевые и диетические добавки
  22. Политология
  23. Получения доброкачественного молока 3к.1с
  24. Прикладная механика
  25. Прикладная механика 4к.2с
  26. Теоретические основы технологии пищевых производств
  27. Технологический семинар
  28. Технологическое оборудование для молочной промышленности
  29. Технологическое оборудование для мьяснои промышленности
  30. Технология продукции предприятий ресторанного хозяйства
  31. Технология хранения консервирования и переработки молока
  32. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
  33. Технохимическому контроль
  34. Управление качеством продукции ресторанного хозяйства
  35. Физика
  36. Физическое воспитание 3к.1с
Возможно Вы искали: