3. Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.

Применение определенного интеграла к задачам геометрии, к экономическим расчетам.

План:

1. Определенный интеграл.

2. Вычисления определенного интеграла.

3. Применение определенного интеграла к задачам геометрии, к экономическим расчетам.

§ 1. Задача о площади криволинейной трапеции. Определение определенного интеграла

К понятию определенного интеграла приводят многие задачи геометрии, физики, естествознания, экономики и т. д..

Определения. Пусть функция Непрерывна и неотъемлемая на отрезке [a; b]. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми , называется криволинейной трапецией.

Понятие криволинейной трапеции обобщающее понятие прямолинейной трапеции. Отрезки aA, bB могут вырождаться в точки. Рисунки показывают, что многие фигуры школьного курса геометрии является криволинейной трапеции или их комбинациями.

Дадим определение нашем интуитивном представлению о площади криволинейной трапеции. Для этого точками

Разобьем произвольно отрезок [a; b] на отрезки . На каждом отрезке разбиения произвольно возьмем по одной точке: И построим прямоугольники с основой И высотой . Полосу криволинейной трапеции с основанием Заменим прямоугольником с таким же основанием и высотой . В результате получим ступенчатую фигуру, составленную из прямоугольников. Очевидно, что чем меньше отрезки (T) — разбиение, тем более ступенчатая фигура приближается к криволинейной трапеции.

Число , где Дает площадь ступенчатой фигуры, и его естественно считать приближенным значением площади криволинейной трапеции. А за площадь криволинейной трапеции естественно принять границу чисел S (T), когда :

   (1)

В курсе матичных анализа доказывается, что для непрерывной функции Граница (1) всегда существует. К вычислению границ типа (1) приводит много других задач, например, вычисления пути прямолинейного движения по известной скоростью V (t) в течение времени от момента К :

.

Поэтому границы вида (1) изучают специально. Абстрагируясь от конкретного содержания функции ,приходим к такого определения.

Определения. Пусть функция Заданная на отрезке [a; b]. Точками Произвольно разобьем отрезок [a; b] на части . Обозначим . На кожномувидризку Произвольно возьмем по одной точке И создадим сумму

Если при Существует предел сумм S (T), которая не зависит от способа разбиения (T) и выбора точек , то эту границу называют определенным интегралом функции На отрезке [a; b] и обозначают символом .

Таким образом, .(2)

Запись (2) на языке Означает, что для произвольного числа Существует число Такое, что для всех (T) — разбиений отрезка [a; b], в которых И для произвольного выбора точек Выполняется неравенство

  (3)

Суммы S (T) называют интегральными суммами функции , составленным для заданного (T) — разбиение отрезка [a; b] и взятого набора точек .

С определений определенного интеграла и площади криволинейной трапеции следует, что площадь криволинейной трапеции выражается формулой

(4)

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла.

Аналогично, длина пути прямолинейного движения вычисляется по формуле

(5)

Равенство (5) выражает механический смысл определенного интеграла.

Определенный интеграл называют также интегралом Римана (Г. Риман (1826 — 1866) — немецкий Матик).

Имеет место следующая теорема о существовании определенного интеграла.

Теорема. Если функция Непрерывна на отрезке [a; b], то ее определенный интеграл существует.

§ 2. Свойства определенного интеграла

Теорема. Если функции Интегрируемых по Риману на отрезке [a; b], то имеют место следующие свойства:

1 º. , где c — произвольное действительное число.

2 º. .

3 º. , для произвольного .

4 º. Если Для произвольного действительного числа , то .

Заметим, что в свойстве 1 º на число c не накладывается ограничение , как в неопределенном интеграле, поскольку определенный интеграл есть число.

Свойство 4 º означает, что неравенства можно интегрировать. Аналогичного свойства для производной нет. Так, с правильной неравенства Для произвольного числа Не следует, что , поскольку , а На интервале .

По определению считают, что Для произвольной функции и , если a> b.

Теорема. Если функция Непрерывна на отрезке [a; b], то существует точка Такая, что .

Эту теорему примем без доказательства. Ее называют теоремой о среднем значении функции, поскольку число По определению, называют средним значением функции На отрезке [a; b].

Геометрически теорема в случае неотъемлемой функции Означает, что существует прямоугольник с основанием [a; b] и высотой f (c), площадь которого равна площади криволинейной трапеции.

§ 3. Вычисления определенного интеграла

3.1. Вычисление определенного интеграла по определению

По определению можно вычислять простые определенные интегралы. Например,

,

Поскольку Является длиной отрезка [a; b].

3.2. Формула Ньютона — Лейбница

Теорема. Если функция Непрерывна на отрезке [a; b], то

,(6)

Где F (x) — одна из первоначальных функции .

Формула (6) называется формулой Ньютона — Лейбница.

По формуле (6) вычисления определенного интеграла сводится к нахождению первоначальной для подинтегральной функции. Однако ею следует пользоваться осторожно, сначала убедившись в непрерывности функции . Формальное применение Формулы (6) может привести к ошибкам.

Так, для интеграла Первоначальная подинтегральной функции равна И , что противоречит свойства, поскольку И .

В приведенном исчислении Допущены две ошибки:

1) данный интеграл не существует, поскольку подынтегральная функция ограничена на отрезке [-1, 1];

2) подынтегральная функция разрывная в точке , ноИ поэтому формулу (6) применять нельзя, поскольку не выполнены условия теоремы.

Разницу Короче обозначают так .

Пример. Вычислить .

Решения. Используя формулу Ньютона — Лейбница, имеем:

    .

3.3. Вычисление определенного интеграла частями

Теорема. Если функции U = U (x) и V = V (x) непрерывные на отрезке [a; b] вместе со своими производными U '(x) и V' (x), то справедлива формула

  (7)

Пример 5.2. Вычислить .

Решения. По формуле (7) имеем:

3.4. Вычисление определенного интеграла подстановкой

Теорема. Пусть функция Непрерывна на отрезке [a; b], функция Непрерывная вместе с производной На отрезке , причем , когда . Тогда

    (8)

Заметим, что в формуле (8) не обязательно возвращаться к переменной x как это было в неопределенном интеграле.

Пример. Вычислить площадь круга радиуса R.

Решения. Поскольку круг Симметричен относительно осей Ox и Oy, то достаточно вычислить площадь четверти круга в первом квадранте. Имеем

.

Для вычисления этого интеграла используем подстановку . Тогда При При И

Поскольку На отрезке . Тогда

§ 4. Геометрические применения определенного интеграла

4.1. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах

Пусть плоская фигура D ограничена линиями , , где функции И — Непрерывные на отрезке [a; b], причем Для каждого . тогда площадь S этой фигуры можно вычислить по формуле

.(9)

Формула (9) очевидна для фигуры D, размещенной в верхней полуплоскости, поскольку в этом случае она является разностью двух криволинейных трапеций. Можно показать, что она справедлива и в общем случае. Если , то с Формулы (9) следует формула для площади криволинейной трапеции.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями И .

Решения. Решаем систему уравнений И находим, что данные кривые пересекаются в точках . Фигура D симметрична относительно начала координат, поскольку функции И Нечетные на отрезке . Поэтому по формуле (9) имеем

.

4.2. Вычисление объемов тел с известными площадями параллельных сечений

Пусть тело (T) такое, что известные площади S (x) его параллельных сечений, причем функция S (x) непрерывна на отрезке [a; b].

Тогда его объем V (T) можно вычислить по Формуле

.(10)

Формулу (10) принимаем без доказательства. Если тело (T) есть тело вращения вокруг оси OX, то из формулы (10) следует, что

,(11)

Поскольку в этом случае , где f (x) — функция, задающая кривую y = f (x), , от вращения которой вокруг оси OX образуется тело вращения.

Пример. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом .

Решения. Используем уравнение эллипсоида . Сечением эллипсоида с плоскостью , где Есть эллипс , площадь Которого равна , где , , есть . следовательно, для любого числа x, где , получим:

Тогда.

При a = b = c имеем уравнение сферы, и поэтому объем шара .