№ 3. Кинематика.

План

1. Кинематика — раздел теоретической механики

2. Кинематика точки

3. Определение траектории, скорости пройденного пути по скорости и ускорению.

4. Виды движения твердого тела

5. Поступательное и крутящий движение твердого тела.

1. Конспект лекции.

Кинематика — Это раздел механики, в котором изучается движение материальных тел без учета их массы и действующих на них сил.

В кинематике движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или тела.

Механическое движение происходит в пространстве и во времени. В теоретической механике пространство и время считают абсолютными и независимыми друг от друга.

Твердое тело отношении которого с помощью системы координат определяется положение других тел в разные моменты времени, называется системой отсчета.

Различные точки тела выполняют различные движения. Поэтому изучение движения обычно начинается с так называемой Кинематики точки, т. е. по установке кинематических характеристик движения отдельной материальной точки.

Движение всякого тела состоит из движения отдельных его точек. Умея определить движение отдельной точки, мы сумеем определить и движение всего тела. Кроме этого, мы увидим в дальнейшем, для усмотрения о движении тела в целом в ряде случаев достаточно знать движение только его отдельной точки.

В процессе своего движения точка последовательно занимает различные положения относительно принятой системы отсчета, причем эти положения непрерывно следуют одно за другим.

Траектория и путь точки.

Геометрическое положение точки, движущейся в рассматриваемой системе отсчета называется Траекторией точки.

Если траектория — прямая линия, движение точки называют Прямолинейным, если траектория — кривая линия, то движение точки называют Криволинейным.

Расстояние, пройденное точкой за рассматриваемый промежуток времени, измеренное вдоль траектории точки называют Путь точки.

Задачи кинематики: в кинематике рассматривается две основные задачи.

1) климатических описание положения точки (тела) в пространстве в любой момент времени, или получения закона движения точки (тела).

2) Определение кинематических характеристик твердого тела (скорости, ускорения, траектории пути по известному закону движения).

 Скорость точки

   

Рис.1.

Рассмотрим движение точки Р по траектории АВ. Если за время Радиус-вектор ,изменится на ,, То скорость точки =(/ ), Или

 =

Если расстояние измерить в метрах (м) а время в секундах (с) то размерность будет V = S / t = м / с

Скорость точки есть кинематическая мера движения точки, равная первой производной по времени от радиуса-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Вектор скорости Приложен в точке, что движется, и направлен по касательной к траектории в сторону движения

Рис.2.

Ускорение точки.

Если за промежуток времени Увеличение скорости Р составит , то ускорение точки =((), Или

 = = Размерность м/с2

Ускорение точки есть мера изменения скорости точки, равна производной по времени от скорости этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Есть координатный способ задания движения точки.

Тогда х = х (t), y = y (t), z = z (t).

А скорость точки

V =

Ускорение точки

A = =

Есть естественный способ задания движения точки.

Рис.3.

S = S (t) есть положение т. Р в любой момент времени t определяется дуговой координатой S.

Функцию S = S (t) предполагают однозначной, непрерывной и дважды деференцийованои.

Ускорение точки.

Ускорение точки характеризует изменение скорости по величине () И называется Касательным ускорением или тангенциальным и направлено всегда по одной прямой со скоростью точки, т. е. по касательной к траектории.

Ускорение характеризующий изменение скорости по направлению (аn) называется Нормальным или Ускорением центростремительным и направлено по нормали к траектории в сторону ее вогнутостиНормалью называют перпендикуляр к касательной кривой в данной точке.

   

Рис.4.

Модуль Ускорение.

А = ; Где касательное ускорение = ;

И нормальное ускорение аn =Где р -. радиус кривизны траектории движения точки.

Угол между ускорениями можно определить с Формулы 

 

Равномерное движение точки: Если V = const = 0;

Уравнение равномерного движения

= V = const или ds = Vdt

Дуговая координата имеет значение

S = So + Vt

Равномерное движение.

Движение точки с постоянным касательным ускорением Называется равномерным.

При t = 0; S = S0 а скорость V = V0; потому что = = Const после интегрирования получаем

V = V0 + T

S = S0 + V0t +

Движение по окружности.

В случае, когда т. Р движется по окружности радиуса r с неподвижным центром О длина дуги О1Р = S = r 

Скорость точки Р

V =T

Касательное ускорение точки получаем по формуле

 = R = r

Нормальное ускорение

An = ω2Ř

Полное ускорение точки

А = = R

Из формул видно, что ускорение всех точек твердого тела при вращательном движении пропорциональны расстояниям от них до оси вращения..

Виды движения.

В кинематике различают пять видов движения.

1. Поступательное, вращательное, плоскопараллельной или плоский. Движение вокруг не подвижной оси или Сферический. Свободный движение.

Первые два вида являются основными, так как другие можно свести к поступательного и вращательного движения.

Поступательное движение твердого тела называют такое движение при котором любая прямая в теле все время остается параллельной себе.

Например поршень — цилиндр, парник паровозных колес.

Вращательное движение — вокруг неподвижной оси — это такое движение, при котором остаются неподвижными все точки некоторой прямой, называемой осью вращения.

Все точки тела перемещаются по окружности с центром на оси вращения и в плоскостях перпендикулярно к этой оси. Это валы, шкивы, колеса, турбины.

Угол Называют Углом поворота.

Угловое перемещение измеряется в радианах (рад) или числом оборотов. Количество оборотов обозначается буквой N. За один оборот тело возвращается на 2π советов. то за N оборотов φ = 2πN

Угловая скорость и угловое ускорение

Ω =Или ω == Φ

Угловая скорость тела равна производной от угла поворота по времени. За единицу в СИ принято рад / с.

Вращательное движение твердого тела в любой момент времени характеризуется:

Модулем угловой скорости; Направлением вращения; положением оси в пространстве.

Если за момент времени Скорость получила увеличение , Тогда в момент времени t угловое ускорение тела

  =Или

Угловое ускорение есть мера изменения угловой скорости тела равна производной от угловой скорости по времени. Единица измерения в СИ рад/с2

Скорости и ускорения точек тела.

Линейная скорость при вращательном движении равна произведению угловой скорости на расстояние от точки до оси вращения. V = R

Вектор V направлен по касательной в сторону вращения.

 - Центростремительное или нормальное ускорение тела равна квадрату угловой скорости умноженному на радиус вращения этой точки.

Касательное ускорение или тангенциальное ускорение точки вращающегося тела равна произведению углового ускорения на радиус вращения. Направлено перпендикулярно к радиусу вращения.

Полное ускорение  Его направление совпадает с направлением диагонали прямоугольника построенного на векторах И Ускорений.

После подстановки в нее значений касательной и нормальной ускорений формула приобретает вид

=  

Сложное движение точки.

Движение точки, исследуемый одновременно в основной и подвижной сисх отсчета, называется сложным движением точки.

Движение точки по подвижной системы отсчета называется Относительным движением точки.

Движение подвижной системы отсчета относительно основной принято называть Переносным движением.

Движение точки по основной системы отсчета называется Абсолютным движением точки.

Переносная скорость и переносное ускорение точки — это скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, с которым в данный момент времени совпадает точка, что движется.

Vа

Vr

Vе

Это уравнение выражает теорему о сложения скоростей: абсолютная скорость точки при сложном движении равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Теорема Кориолиса: абсолютное ускорение точки при сложном движении равна геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

)

Кориолисово ускорения точки при сложном движении — составляющие ее абсолютного ускорения, равный удвоенному вектору произведения угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки.

Модуль кориолисова ускорения

=

2. Рекомендуемая литература:

Прикладная механика: Учебное пособие / А. Т. Скойбеда, А. А. Миклашевич, Е. Н. Левковский и др.; Под общ. ред. А. Т. Скойбеды. — Мн.: Выш. Шк., 1997 — 522с. Иосилевич Г. Б., Лебедев П. А., Стреляев В. С. Прикладная механика. — М.: Машиностроение, 1985 — 576с. С. А. Чернавский и др.. Курсовое проектирование деталей машин. — Машиностроение, 1987. — 146-152 с. Прикладная механика. К. И. Заблонский, М. С. Беляев, И. Я. Телис и др. — М.: Высшая школа, 1984 — 280с. Гузенкова П. Г. Детали машин.-М.: Высшая школа, 1986 — 359с. Дунаев П. Ф., Леликов О. П. Конструирование узлов и деталей машин.-М.: Высшая школа, 1985 — 416с. Иванов М. Н. Детали машин.-М.: Высшая школа, 1984 — 336с. В. Т. Павлище, Е. В. Харченко и др. Прикладная механика. — М.: Интеллект-запад, 2004 —

366 с.