7. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

План:

1. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен

2. Интегрирование рациональных функций

3. Схема интегрирования Рационального дроби

Рассмотрим отдельные типы интегралов

1)

Пусть (Если , то за знак интеграла можно вынести множитель ). Выделим в знаменателе полный квадрат:

.

Положив , получим , есть интеграл свелся к табличного.

2)

Выполним тождественные преобразования подинтегральной функции: создадим в числителе производную знаменателю, то есть,

Поскольку

, тогда

3) .

С помощью тождественных преобразований, рассмотренных в пункте (1), интеграл сводится к табличному виду Или .

4)

С помощью тождественных преобразований, розглятутих в пункте (2), получим

Найдем

.

Таким образом,

Интегрирование рациональных функций

Определения. Рациональным дробью (рациональной функцией) называется выражение вида , где — Многочлен степени m, — Многочлен степени n, .

Если , то дробь Называется Правильным, если — Неправильным.

Если дробь неправильный, то выполнив деление многочленов его можно представить в виде суммы многочлена и правильного рационального дорбу.

Каждый правильный рациональная дробь Можно представить как сумму элементарных дробей вида

Где , а трехчлен Не имеет действительных корней, т. е. .

Найдем интегралы от элементарных дробей первых трех типов

1)

2).

3) .Этот интеграл находится аналогично Рассмотренном на ипопередний лекции.

Схема интегрирования рационального дроби

1) Если дробь неправильный, то выполнив деление многочленов его нужно представить в виде суммы многочлена и правильного рационального дроби

, где — Правильный рациональная дробь.

2) Правильный Рациональный дробь разложить на элементарные дроби, для этого необходимо найти корни знаменателя: . Рассмотрим случай . Возможны случаи:

— Корни знаменателя действительны и различны, т. е. , тогда

;

— Корни знаменателя действительны и некоторые из них кратные. Пусть -Простые корни, — Корень кратности , …— Корень кратности

— Среди корней знаменателя есть комплексные числа, тогда в расписании рациональногодроби элементарный дробь Соответствует двум комплексно-сопряженным числам.

Замечания.Неизвестные стали Находят методом неспособность коэффициентов.

Пример. Найти .

Подынтегральная функция Является правильный дробь, знаменатель имеет один действительный корень , и комплексные корни, поскольку , тогда

,

Выполним сложение и получим

.

Чтобы существовала равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо чтобы равными были числителе. Числительные являются многочленами, которые будут равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Это приводит к такой системе уравнений с неизвестными

Решаем эту систему и получаем .

Таким образом,

Откуда,