bannerka.ua

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Модуль ИИИ. Интегральное исчисление функций одной переменной (Неопределенный интеграл).

    Свойства неопределенного интеграла. Дробно-рациональные функции: правильные дроби; элементарные дроби.

В курсе матики кроме многочленов изучаются и используются также дробно-Рациональные функции, которые называются рациональными дробями.

Рациональным дробью называют выражение Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, где f (x) и g (x) — многочлены, причем Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Мы будем рассматривать рациональные дроби, в которых числитель и знаменатель является многочленами с действительными коэффициентами. Множество таких дробей обозначим R (x).

Над рациональными дробями выполняются действия сложения и умножения по следующим правилам:

    Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(1)

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл (2)

С равенств (1), (2) следует, что сумма и произведение рациональных дробей из множества R (x) определяются однозначно и относятся к этого множества. Кроме того эти операции ассоциативные, коммутативны, связанные дистрибутивным законом, число 0 является нейтральным элементом по сложению, а число 1 — по умножению.

Дробь Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралПротивоположно дроби Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, а дробь Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, если Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, является обратным к дроби Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Дробь Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНазывается правильным, если ст. f <ст. g.

Теорема. Сумма правильных рациональных дробей является правильной дробью, а любой неправильный дробь является суммой многочлена и правильной дроби.

Рассмотрим примеры.

1. Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

2. Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Дробь вида Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, где p (x) — многочлен, несводимый над полем действительных чисел, и ст. f <ст. p, k — произвольное натуральное число, называется элементарным дробью.

Рассмотрим примеры.

1. рациональная дробь Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралЯвляется элементарным, потому многочлен Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНесводимый и дробь правильный.

2. Рациональный дробь Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНе является элементарным, потому знаменатель Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНе является несводимых многочленом.

3. Рациональная дробь Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНе является элементарным, потому что он неправильный.

Одной из основных задач теории рациональных дробей является задача представления дроби в виде суммы некоторого многочлена и элементарных дробей. Эта задача решается положительно на основе следующих теорем.

Теорема. если g1 (x) и g2 (x) — взаимно простые многочлены и Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл— Правильный рациональная дробь, то существуют такие многочлены f1 (x) и f2 (x), что

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл,

Причем дроби в правой части этого равенства правильные.

Например, Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Эта теорема обобщается на случай произвольного конечного числа взаимно простых множителей в знаменателе.

Теорема. любой правильный дробь вида Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, где p (x) — несводимый многочлен, а k — произвольное натуральное число, можно представить как сумму элементарных дробей:

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

При использовании предыдущих теорем приходится следующая теорема.

Теорема (основная теорема теории рациональных дробей). Любой правильный дробь Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралМожно представить как сумму элементарных дробей: если Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, то

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.(3)

Из приведенных теорем следует, что любой неправильный рациональная дробь можно представить в виде суммы многочлена и элементарных дробей.

Пример. Подать Рациональный дробь

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Суммой многочлена и элементарных дробей.

Решения. Поскольку степень числителя дроби больше степени знаменателя, то заданный дробь неправильный. Разделим числитель на знаменатель:

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Итак, Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл. Разложим знаменатель дроби на множители:

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Запишем дробь Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралВ виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами числительных Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти неизвестные коэффициенты A, B и C.

Для этого строим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой части. получим:

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Отсюда Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл. Исходя из определения равенства многочленов, имеем:

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.Отсюда Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Таким образом, Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Определение двойного интеграла

Пусть в ограниченном квадровний области D задана функция Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл. Сеткой (T) кривых произвольно разобьем область D на квадровни части Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл. Обозначим

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

В каждой части произвольно возьмем по одной точке Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ составим сумму

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(1)

Которую называют интегральной. Она зависит от (T) — разбиение области D на части Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ от выбора точек Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Определения. Число I называется пределом интегральных сумм (1) при Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, если для произвольного числа Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралСуществует такое число Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, что для произвольного (T) — разбиение области D на части Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ произвольного выбора точек Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, из условия Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралВытекает неравенство Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

При этом число I называют двойным интегралом функции Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралПо области D и обозначают символом Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИли Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Таким образом, по определению

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(2)

Если определение сопоставить с задачей о массе неоднородной пластинки, то получим формулу

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(3)

Раскрывающая физический смысл двойного интеграла.

Если определение сопоставить с задачей об объеме цилиндрического тела, то получим формулу

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(4)

Раскрывающая геометрический смысл двойного интеграла.

Теорема. Если функция Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНепрерывна в ограниченной квадровний области D, то двойной интеграл существует.

Теорема принимаем без доказательства.

Свойства двойного интеграла

Основные свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

1 º. Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

2 º. Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

3 º. Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

4 º. Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

5 º. Если Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ области Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНе имеют общих внутренних точек (они имеют лишь общую границу), то Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(Аддитивное свойство).

6 º. Если функция Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНепрерывна в области D, то существует точка Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралТакая, что Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(Теорема о среднем значении).

В равенствах 3 º, 4 º, 5 º считают, что двойные интегралы функций Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралПо указанным областях существуют.

Докажем, например, свойство 3 º. Имеем

    Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

При доказательстве использованы определение двойного интеграла и тот факт, что устойчивое множитель можно выносить за знак суммы и за знак границы.

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИз свойства 3 º при Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралПолучаем равенство 1 º, а при Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралВ (D) получаем равенство 2 º.

Равенство 5 º, исходя из физического содержания двойного интеграла означает следующее: если пластинка D является объединением пластинок Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(Рис.1), то, очевидно, масса пластинки D равна сумме масс пластинок Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Теорема о среднем значении принимаем без доказательства.

§ 2. Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Теорема. Пусть функция Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНепрерывна в области D, ограниченной линиями Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, причем функции Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНепрерывные на отрезке [a; b] и Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралДля произвольного Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл. Тогда имеет место формула

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(5)

Формула (5) показывает, что вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определенных интегралов. Интеграл дело в формуле (5) называется повторным, причем интеграл по переменной y называется внутренним, а по переменной x — внешним.

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралАналитическое доказательство формулы (5) несколько громоздкое, поэтому приведем здесь соображения, вытекающие из физического смысла двойного интеграла. Будем считать, что функция Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНеотъемлемая в области D и является поверхностной плотностью пластинки D.

Выделим полосу области D между вертикалями x и Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(Рис.2). масса этой полосы (она заштрихована на рис.), очевидно, равна Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл. Тогда масса всей пластинки D будет равна Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, откуда с физическим содержанием двойного интеграла и следует Формула (5).

Пример. Вычислить Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, если область D ограничена линиями Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(Рис.3).

Решения. Заданные линии пересекаются в двух точках: O (0, 0) и A (1, 1). Поэтому по формуле (5) имеем:

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

В случае области D, ограниченной линиями Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, причем функции Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНепрерывные на отрезке [c; d] и Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралДля произвольного Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(Рис.4), имеет место формула

    Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл   

Геометрические применения двойных интегралов

Проиллюстрируем на конкретных примерах применения Формул вычисление площадей плоских фигур и объемов цилиндрических тел с помощью двойных интегралов:

  Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(6)

Пример. Вычислить объем шара радиуса R.

Решения. Запишем уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат: Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл. Тогда Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралБудет уравнением верхней полусферы и по формуле (6) имеем

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл,

Где D — четверть круга радиуса R в первом квадранте.

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам. Тогда

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Получим

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл.

Это известная формула объема шара радиуса R.

Отметим формулу для вычисления площади поверхности Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(Рис. 5). если функция Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНепрерывная вместе с частными производными Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралВ области D, то площадь S поверхности Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, которая является графиком функции Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл, можно вычислить по формуле

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл(7)

Пример. Вычислить площадь поверхности сферы радиуса R.

Решения. Из уравнения верхней полусферы Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИ формулы (7) формально имеем:

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл  Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Получили известную формулу площади сферы радиуса R.

На последнем шаге приведенных выше вычислений фактически проигнорирована неограниченность подинтегральной функции Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралНа отрезке [0; R].

Вообще так вычислять определенный интеграл нельзя. Но в данном случае этот интеграл, рассматриваемый как несобственный — сходящийся, и поэтому

Интегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интегралИнтегральное исчисление функций одной зминнои (неопределенный и определенный интеграл

Tagged with: ,
Posted in Высшая математика 3к.1с
Перечень предметов
  1. Бухучет в ресторанном хозяйстве
  2. Введение в специальность 4к.2с
  3. Высшая математика 3к.1с
  4. Делопроизводство
  5. Информационные технологии в области
  6. Информационные технологии в системах качества стандартизаціісертифікаціі
  7. История украинской культуры
  8. Математические модели в расчетах на эвм
  9. Методы контроля пищевых производств
  10. Микробиология молока и молочных продуктов 3к.1с
  11. Микропроцессорные системы управления технологическими процессами
  12. Научно-практические основы технологии молока и молочных продуктов
  13. Научно-практические основы технологии мяса и мясных продуктов
  14. Общая технология пищевых производств 4к.2с
  15. Общие технологии пищевых производств
  16. Организация обслуживания в предприятиях ресторанного хозяйства
  17. Основы научных исследований и техничнои творчества
  18. Основы охраны труда
  19. Основы пидприемницькои деятельности и агробизнеса
  20. Основы физиологии и гигиены питания 3к.1с
  21. Пищевые и диетические добавки
  22. Политология
  23. Получения доброкачественного молока 3к.1с
  24. Прикладная механика
  25. Прикладная механика 4к.2с
  26. Теоретические основы технологии пищевых производств
  27. Технологический семинар
  28. Технологическое оборудование для молочной промышленности
  29. Технологическое оборудование для мьяснои промышленности
  30. Технология продукции предприятий ресторанного хозяйства
  31. Технология хранения консервирования и переработки молока
  32. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
  33. Технохимическому контроль
  34. Управление качеством продукции ресторанного хозяйства
  35. Физика
  36. Физическое воспитание 3к.1с
Возможно Вы искали: