Модуль ИИИ. Интегральное исчисление функций одной переменной (Неопределенный интеграл).

Свойства неопределенного интеграла. Дробно-рациональные функции: правильные дроби; элементарные дроби.

В курсе матики кроме многочленов изучаются и используются также дробно-Рациональные функции, которые называются рациональными дробями.

Рациональным дробью называют выражение , где f (x) и g (x) — многочлены, причем .

Мы будем рассматривать рациональные дроби, в которых числитель и знаменатель является многочленами с действительными коэффициентами. Множество таких дробей обозначим R (x).

Над рациональными дробями выполняются действия сложения и умножения по следующим правилам:

    (1)

(2)

С равенств (1), (2) следует, что сумма и произведение рациональных дробей из множества R (x) определяются однозначно и относятся к этого множества. Кроме того эти операции ассоциативные, коммутативны, связанные дистрибутивным законом, число 0 является нейтральным элементом по сложению, а число 1 — по умножению.

Дробь Противоположно дроби , а дробь , если , является обратным к дроби .

Дробь Называется правильным, если ст. f <ст. g.

Теорема. Сумма правильных рациональных дробей является правильной дробью, а любой неправильный дробь является суммой многочлена и правильной дроби.

Рассмотрим примеры.

1. .

2. .

Дробь вида , где p (x) — многочлен, несводимый над полем действительных чисел, и ст. f <ст. p, k — произвольное натуральное число, называется элементарным дробью.

Рассмотрим примеры.

1. рациональная дробь Является элементарным, потому многочлен Несводимый и дробь правильный.

2. Рациональный дробь Не является элементарным, потому знаменатель Не является несводимых многочленом.

3. Рациональная дробь Не является элементарным, потому что он неправильный.

Одной из основных задач теории рациональных дробей является задача представления дроби в виде суммы некоторого многочлена и элементарных дробей. Эта задача решается положительно на основе следующих теорем.

Теорема. если g1 (x) и g2 (x) — взаимно простые многочлены и - Правильный рациональная дробь, то существуют такие многочлены f1 (x) и f2 (x), что

,

Причем дроби в правой части этого равенства правильные.

Например, .

Эта теорема обобщается на случай произвольного конечного числа взаимно простых множителей в знаменателе.

Теорема. любой правильный дробь вида , где p (x) — несводимый многочлен, а k — произвольное натуральное число, можно представить как сумму элементарных дробей:

.

При использовании предыдущих теорем приходится следующая теорема.

Теорема (основная теорема теории рациональных дробей). Любой правильный дробь Можно представить как сумму элементарных дробей: если , то

.(3)

Из приведенных теорем следует, что любой неправильный рациональная дробь можно представить в виде суммы многочлена и элементарных дробей.

Пример. Подать Рациональный дробь

Суммой многочлена и элементарных дробей.

Решения. Поскольку степень числителя дроби больше степени знаменателя, то заданный дробь неправильный. Разделим числитель на знаменатель:

Итак, . Разложим знаменатель дроби на множители:

.

Запишем дробь В виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами числительных .

Теперь задача состоит в том, чтобы найти неизвестные коэффициенты A, B и C.

Для этого строим правую часть к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой части. получим:

.

Отсюда . Исходя из определения равенства многочленов, имеем:

.

.Отсюда

Таким образом, .

Определение двойного интеграла

Пусть в ограниченном квадровний области D задана функция . Сеткой (T) кривых произвольно разобьем область D на квадровни части , . Обозначим

,  ,  .

В каждой части произвольно возьмем по одной точке , И составим сумму

(1)

Которую называют интегральной. Она зависит от (T) — разбиение области D на части И от выбора точек .

Определения. Число I называется пределом интегральных сумм (1) при , если для произвольного числа Существует такое число , что для произвольного (T) — разбиение области D на части , И произвольного выбора точек , , из условия Вытекает неравенство .

При этом число I называют двойным интегралом функции По области D и обозначают символом Или .

Таким образом, по определению

(2)

Если определение сопоставить с задачей о массе неоднородной пластинки, то получим формулу

(3)

Раскрывающая физический смысл двойного интеграла.

Если определение сопоставить с задачей об объеме цилиндрического тела, то получим формулу

(4)

Раскрывающая геометрический смысл двойного интеграла.

Теорема. Если функция Непрерывна в ограниченной квадровний области D, то двойной интеграл существует.

Теорема принимаем без доказательства.

Свойства двойного интеграла

Основные свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

1 º.

2 º.

3 º.

4 º.

5 º. Если И области И Не имеют общих внутренних точек (они имеют лишь общую границу), то (Аддитивное свойство).

6 º. Если функция Непрерывна в области D, то существует точка Такая, что (Теорема о среднем значении).

В равенствах 3 º, 4 º, 5 º считают, что двойные интегралы функций , По указанным областях существуют.

Докажем, например, свойство 3 º. Имеем

   

При доказательстве использованы определение двойного интеграла и тот факт, что устойчивое множитель можно выносить за знак суммы и за знак границы.

Из свойства 3 º при Получаем равенство 1 º, а при И В (D) получаем равенство 2 º.

Равенство 5 º, исходя из физического содержания двойного интеграла означает следующее: если пластинка D является объединением пластинок И (Рис.1), то, очевидно, масса пластинки D равна сумме масс пластинок И .

Теорема о среднем значении принимаем без доказательства.

§ 2. Вычисление двойного интеграла

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Теорема. Пусть функция Непрерывна в области D, ограниченной линиями , причем функции И Непрерывные на отрезке [a; b] и Для произвольного . Тогда имеет место формула

(5)

Формула (5) показывает, что вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определенных интегралов. Интеграл дело в формуле (5) называется повторным, причем интеграл по переменной y называется внутренним, а по переменной x — внешним.

Аналитическое доказательство формулы (5) несколько громоздкое, поэтому приведем здесь соображения, вытекающие из физического смысла двойного интеграла. Будем считать, что функция Неотъемлемая в области D и является поверхностной плотностью пластинки D.

Выделим полосу области D между вертикалями x и (Рис.2). масса этой полосы (она заштрихована на рис.), очевидно, равна . Тогда масса всей пластинки D будет равна , откуда с физическим содержанием двойного интеграла и следует Формула (5).

Пример. Вычислить , если область D ограничена линиями И (Рис.3).

Решения. Заданные линии пересекаются в двух точках: O (0, 0) и A (1, 1). Поэтому по формуле (5) имеем:

В случае области D, ограниченной линиями , причем функции И Непрерывные на отрезке [c; d] и Для произвольного (Рис.4), имеет место формула

       

Геометрические применения двойных интегралов

Проиллюстрируем на конкретных примерах применения Формул вычисление площадей плоских фигур и объемов цилиндрических тел с помощью двойных интегралов:

 

(6)

Пример. Вычислить объем шара радиуса R.

Решения. Запишем уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат: . Тогда Будет уравнением верхней полусферы и по формуле (6) имеем

,

Где D — четверть круга радиуса R в первом квадранте.

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам. Тогда

.

Получим

.

Это известная формула объема шара радиуса R.

Отметим формулу для вычисления площади поверхности (Рис. 5). если функция Непрерывная вместе с частными производными И В области D, то площадь S поверхности , которая является графиком функции , можно вычислить по формуле

(7)

Пример. Вычислить площадь поверхности сферы радиуса R.

Решения. Из уравнения верхней полусферы И формулы (7) формально имеем:

 

Получили известную формулу площади сферы радиуса R.

На последнем шаге приведенных выше вычислений фактически проигнорирована неограниченность подинтегральной функции На отрезке [0; R].

Вообще так вычислять определенный интеграл нельзя. Но в данном случае этот интеграл, рассматриваемый как несобственный — сходящийся, и поэтому