ГЛОССАРИЙ

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел , где И , состоящая с m строк и n столбцов и записана в виде

Две матрицы Am × nИ Bm × nОдинаковых размерностей называются Равными, если уровень их соответствующие элементы:.

Квадратная матрица называется Диагональной, если все ее элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю.

Суммой двух матриц Am × nИ Bm × nОдинаковых размерностей называется матрица Cm × n.

Произведением матрицы Am × nНа матрицу Bn × kНазывается такая матрица Cm × k, в которой элемент Равна сумме произведений элементов i — ой строки матрицы A на соответствующие элементы j — го столбца матрицы B:

Произведением матрицы Am × nНа число k называется матрица Той же размерности. Она обозначается kAm × n или Am × n · k. При этом k называют числовым (скалярным) множителем, Am × n — матричным множителем.

Пусть заданы действительные числа . Они определяют действительное число , которое называется Определителем или детерминантом второго порядка и записывается так:

  . 

Пусть заданы действительные числа . Они определяют действительное число

Которое называется Определителем или детерминантом третьего порядка и задается так:

Минором Элемента Определителя Называется определитель, который образуется из данного определителя в результате вычеркивания i — й строки и j — го столбца.

Алгебраическим дополнением Элемента Называется выражение , есть

  . 

Линейным уравнением С n неизвестными называется уравнение вида

  ,(5)

Где — Неизвестные, входящие в это уравнение в первой степени (линейно), — Данные числа, называемые коэффициентами при неизвестных, число b называется свободным членом уравнения.

Решением уравнения С n неизвестными называется такой упорядоченный набор чисел , при подстановки которых в данное уравнение вместо неизвестных Соответственно (то есть вместо Подставляем , вместо Подставляем И т. д.) оно превращается в числовую равенство (тождество):

.

Решением системы линейных уравнений Называется упорядоченный набор чисел , если при подстановке вместо неизвестного Числа (I = 1, 2, …, n) все уравнения системы превращаются в тождества.

Две системы линейных уравнений называются Эквивалентными, если они имеют одну и ту же множество решений

Матрица A-1 называется Обращенной К матрице A, если выполняется условие

AA-1 = A-1A = E.

Квадратная матрица A называется Вырожденной, если И Невырожденной,если .

Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.

Любая упорядоченная пара точек A и B пространства определяет Направленный отрезок или вектор. Первую точку A называют началом вектора, а вторую B — концом вектора.

Расстояние между началом вектора И его концом называется Длиной (модулем) вектора и обозначается || Или ||.

Вектор, начало и конец которого совпадает, называется Нулевым и обозначается .

Вектор, длина которого равна единице называется Единичным.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются Коллинеарными.

Два вектора И Называются Равными, если они спивнапрямлени и имеют одинаковую длину. равенство векторов И Записывают так: .

Векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях, называются Компланарными.

Суммой двух векторов И называется вектор , направлен из начала вектора В конец вектора При условии, что начало вектора Совпадает с концом вектора .

Разностью двух векторов И Называется такой вектор , что .

Произведением вектора На число Называется вектор, длина которого равна || · | T |, а направление совпадает с направлением вектора , если t> 0, и противоположный ему, если t <0. Если Или , то их произведение является нулевым вектором.

Пусть заданы n векторов И n чисел . Выражение Называется Линейной комбинацией векторов С коэффициентами .

Векторы Называют Линейно зависимыми, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно не равно нулю и при этом оправдывается равенство

. 

Любая упорядоченная совокупность линейно независимых векторов, через которые линейно определяется произвольный вектор пространства, называется Базисом этого пространства.

Максимальное число линейно независимых векторов некоторого пространства называется его Размерностью.

Скалярным произведением двух векторов И Называется действительное число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними и обозначается :

,где . 

Векторным произведением вектора И Называется вектор , который определяется следующими условиями:

1) длина Вектора , где ;

2) вектор Перпендикулярен к каждому из векторов И ;

3) если вектор , то векторы — Образуют правую тройку векторов.

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов Называется скалярное произведение векторного произведения И вектора .

Уравнения ,называют Уравнением с двумя переменными И Если равенство выполняется не для всех пар чисел И , и тождеством, если она справедлива для всех значений И .

Линия, заданная уравнениемОтносительно некоторой системы координат в плоскости является Геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют заданное уравнение.

Алгебраическая линия второго порядка — Это множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнения вида

    , 

Где коэффициенты — Действительные числа, причем хотя бы одно из чисел Отличное от нуля.

Кругом называется множество всех точек плоскости, расстояния которых от заданной точки плоскости (центра окружности) равны устойчивому положительном числу (радиуса).

— Каноническое уравнение круга.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и больше расстояния между фокусами.

, (Где ) — Каноническое уравнение эллипса.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний которых от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньше расстояния между фокусами.

  ,где .

Параболой называется множество всех действительных точек плоскости, расстояние которых от фиксированной точки плоскости, называется фокусом, равно расстоянию от фиксированной прямой, называемой директрисой.

Говорят, что на множестве x задана Функция, если по определенному правилу (законом) f каждому элементу xÎx поставлено в соответствие один и только один элемент yÎy. При этом элементы xÎx называют значениями аргумента или независимой переменной функции, а соответствующие им элементы yÎy — значениями функции.

Множество EÌR называется Симметричной относительно нуля, если вместе с любым числом xÎE число Также принадлежит E.

Функция f (x), xÎE называется Парной, если множество E симметрична относительно нуля и Для любого xÎE.

Функция f (x), xÎE называется Нечетным, если множество E симметрична относительно нуля и Для любого xÎE.

Функция f (x), xÎE называется Периодической, если существует такое число T ¹ 0 (оно называется периодом функции), для любого числа xÎE числа (x)И при этом выполняются равенства .

Функция f (x), xÎE называется Ограниченной, если существует такое число M> 0, Для всех чисел xÎE.

Функция f (x), xÎE называется Неограниченной, если для любого числа M> 0 существует такое число x0ÎE, что .

Функция f (x), xÎE называется Возрастающей (убывающей), если для произвольных x1ÎE, x2ÎE из условия Следует .

Функция f (x), xÎE называется Неспадною (незростаючою), если для произвольных чисел x1ÎE, x2ÎE из условия Следует .

Растущие, нисходящие, незростаючи, неспадни функции называются Монотонными.

Действительное число a называется Границей последовательности , если для любого действительного положительного числа Существует такой номер (Вообще, зависящий от , есть ), Что для всех номеров n, больших , выполняется неравенство .

Последовательность, которая имеет границу, называется Совпадающие. Последовательность, не имеет предела, называется Расходящихся.

Последовательность, предел которой равен нулю, называется Бесконечно малой или нулевой последовательности.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки , кроме, возможно, самой точки . Число Называется Границей функции f(X) в точке , если для произвольного Существует такое число , что для всех , которые удовлетворяют условию , выполняется неравенство .

Пусть функция f (x) определена на промежутке . Число Называется Границей функции f (x) при , если для любого действительного числа Существует такое действительное число , что для всех чисел Выполняется неравенство .

Пусть функция y = f (x) определена на промежутке . Прямая y = kx + b называется Асимптотой графика функции y = f (x) при , если

.

Функция f (x) называется Непрерывной в точке , если .

Точка Называется Усувною точкой разрыва функции f (x), если выполнены лишь первая и вторая условия или только второе условие предварительного определения.

Точка Называется Точкой разрыва первого рода функции f (x), если в этой точке функция f (x) имеет различные конечные односторонние границы.

Точка Называется Точкой разрыва второго рода функции f (x), если в этой точке хотя бы одно из ее односторонних границ не существует или является бесконечной.

Функция f (x) называется Непрерывной в точке , если бесконечно малому приросту Аргумента Соответствует бесконечно малое приращение функции.

Функция f (x) называется Непрерывной на промежутке <a; b>, если непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Производной функции В точке x называется предел отношения приращения функции В этой точке к приращению аргумента , когда прирост аргумента стремится к нулю.

Функция Называется Дифференцируема в точке , если в этой точке она имеет производную.

Функция Называется Дифференцируемых на промежутке, если диференцiйовна в каждой точке этого промежутка.

Прямая, перпендикулярная касательной и проходящей через точку касания, называется Нормалью К кривой.

Пусть функция Дифференцируема в точке x. Тогда линейная относительно Часть приращения функции Называется Дифференциалом функции В точке x.

Пусть функция Определена в некоторой окрестности точки . Говорят, что она имеет в точке Локальный максимум (Локальный минимум), если В этом окрестности.

Кривая называется Выпуклой (вогнутой) в точке , если в некоторой окрестности этой точки кривая расположена ниже (выше) касательной, проведенной в точке .

Точка Называется Точкой перегиба кривой , если с одной стороны от точки (В достаточно малом ее окрестности) кривая выпуклая, а с другой стороны — вогнута.

Линией уровня функции Называют линию в плоскости XOY, заданную уравнением .

Поверхность уровня функции Называют поверхность, заданную уравнением .

Действительное число A называется Границей функции В точке , если для произвольного числа Существует такое число , что для всех точек , отличных от точки , и таких, что расстояние , выполняется неравенство .

Функция Называется Непрерывной в точке , если .

Пусть задана функция . Частных производных функции По переменной , где k — натуральное число и , называется обычная производная функции u по переменной При условии, что остальные переменных считаются постоянными.

Функция Называется Дифференцируема в точке , если ее полное приращение Можно представить в виде

(5)

Где числа И От приростов И Не зависят (вообще, они зависят от точки ), А функции И Бесконечно малыми при И .

Сумма Является линейной относительно приростов И Частью полного прироста . Ее называют Полным дифференциалом функцииИ обозначают символом .

Говорят, что функция Имеет в точке Локальный максимум (Минимум), если существует окрестность точки , в котором для каждой точки Выполняется неравенство , т. е. прирост Сохраняет знак в некоторой окрестности точки .

Точка , в которой частные производные И Равны нулю или не существуют, называется Критической (Или стационарной) точкой функции .

Пусть функция Задана на промежутке . Тогда функция Называется Первоначальной функции , если Дифференцирована на И Для всех .

Множество всех первобытных функции На промежутке Называется Неопределенным интегралом функции И обозначается символом .

Рациональным дробью (рациональной функцией)Называется выражение вида , где — Многочлен степени m, — Многочлен степени n, .

Пусть функция Непрерывна и неотъемлемая на отрезке [a; b]. Фигура, ограниченная графиком этой функции, отрезком [a; b] и прямыми , называется Криволинейной трапецией.

Пусть функция Заданная на отрезке [a; b]. Точками Произвольно разобьем отрезок [a; b] на части . Обозначим . На кожномувидризку Произвольно возьмем по одной точке И создадим сумму Если при Существует предел сумм S (T), которая не зависит от способа разбиения (T) и выбора точек , то эту границу называют Определенным интегралом функции На отрезке [a; b] и обозначают символом .

Таким образом, . 

Число I называется Границей интегральных сумм При , если для произвольного числа Существует такое число , что для произвольного (T) — разбиение области D на части , И произвольного выбора точек , , из условия Вытекает неравенство .

При этом число I называют Двойным интегралом функции По области D и обозначают символом Или .