Модуль I.Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической гнометрии

· Матрицы и операции над ними. Определитель матрицы.

— Обратная матрица.

Пусть A — квадратная матрица. Матрица A-1 называется обратной к матрице A, если выполняется условие

AA-1 = A-1A = E.

Квадратная матрица A называется вырожденной, если И невырожденной, если .

Теорема. Квадратная матрица A имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная. обратная матрица для данной невырожденной матрицы единственная.

Доказывания. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A-1. Тогда AA-1 = E, . Итак, И матрица A невырожденная.

Достаточность. Пусть И . Покажем, что обратной к матрице A будет матрица , где — Алгебраическое дополнение элемента Определителя матрицы A. Действительно, по правилу умножения матриц и свойствами 8 °, 9 ° определителей имеем

.

Покажем, что другой матрицы, которая была бы обратной к матрице A, не существует. Пусть . Тогда . Теорема доказана.

Пример. Найти A-1, если .

Решения. Вычислим определитель матрицы A и алгебраические дополнения всех ее элементов. Имеем:

;

Записываем обратную матрицу

.

Перейдем к рассмотрению понятия ранга матрицы. Пусть A = Am × n. Выделим в матрице A любые k строк и k столбцов, где k в пределах каждого из чисел m и n.

Определитель порядка k, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k — го порядка матрицы A.

— Ранг матрицы.

Определения. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.

Ранг матрицы A обозначается И обладает следующими свойствами:

1°. 

2°.  , тогда и только тогда, когда A = О.

3°. для квадратной матрицы n — го порядка Тогда и только тогда, когда матрица A невырожденная.

Вычисление ранга матрицы по определению громоздкое. Поэтому на практике применяют метод элементарных преобразований матрицы. К таким преобразованиям относятся:

1) перестановку местами любых двух строк или столбцов матрицы;

2) умножение любой строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;

3) добавление к элементам некоторого строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Оказывается, что при элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Поэтому матрицу с помощью этих преобразований сводят к такому виду, когда становится очевидным значение ее ранга.

Пример. Найти ранг матрицы .

Решения. Выполняя элементарные преобразования матрицы, получим:

~~~

Поясним выполнены преобразования. Знак ~ между матрицами указывает, что они получены друг из друга элементарными преобразованиями. На первом шаге умножили первую строчку соответственно на -3, -3, -5 и добавили по очереди ко второму, третьему и четвертому строки. На втором шаге первый столбец умножили на 3, 3, 2, 5 и добавили согласно другим столбцов, а затем первый столбец умножили на (-1), после этого вторую строчку умножили на -2 и добавили к третьей и четвертой. На последнем шаге второй столбец умножили на , затем его умножили на 7, 3, 11 и добавили к третьему, четвертого и пятого столбцов и последняя строка умножили на . Полученная матрица имеет ранг 3. Итак, .  

· Совместимость и определенность систем линейных уравнений.

· Расписание Вектора по базису. Линейно зависимы и линейно независимые системы Векторов.

Аналитическая геометрии.

Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве. Полярная системы координат.

Важнейшей после прямоугольной декартовой системы координат является полярная системы координат. Она задается точкой O, которая называется полюсом и единичным вектором , выходящий из этой точки. Луч, исходящий из точки O и спивнапрямлений с вектором Называется полярной осью.

Возьмем произвольную точку M на плоскости и построим вектор . Положение точки M полностью определяется углом Между полярной осью и вектором И длиной Вектора .

Числа Называются полярными координатами точки M.

При этом Называют полярным радиусом точки M, а — Полярным углом этой точки. Точка M с полярными координатами И Обозначается так: .

Заметим, что начало полярной системы координат (точка O) имеет полярный радиус равен 0, а полярный угол для него определен. В целом же, полярный радиус Изменяется в пределах , а полярный угол В пределах . Иногда рассматривают углы в пределах .

Между декартовыми и полярными координатами точки на плоскости существует определенная связь.

Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а ось Ox — с полярной осью Ox. Тогда из геометрических соображений имеем:

     .(3)

Отсюда

     .(4)

Заметим, что угол Имеет два значения, поскольку он изменяется от 0 до . Поэтому выбирают то значение , удовлетворяющий равенству (3).

Формулы (3) называют формулами перехода от полярных до декартовых координат, а формулы (4) — формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Пример. Построить точку A в полярной системе координат, если И найти ее декартовы координаты.

Решения. Находим декартовы координаты точки A:

Итак, .

Фокальные свойства кривых второго порядка.

Эксцентриситетом Эллипса называют отношение расстояния между его фокусами к длине его большой оси: .(5)

При этом , следовательно .

Через эксцентриситет эллипса можно выразить отношение его полуосей:

.

Отсюда, при увеличении К единице, отношение полуосей эллипса Уменьшается, следовательно эллипс стал все более растянутым вдоль оси .

Директриса эллипса называют две прямые перпендикулярны к фокальной оси эллипса и размещены симметрично относительно центра эллипса на расстоянии От него.

Директрисы эллипса Имеют уравнения . Эти прямые эллипс не пересекают, поскольку , а .

Отношение фокальных радиусов любой точки эллипса до расстояний этой точки от соответствующих директрисы есть величина постоянная и равна эксцентриситета эллипса, т. е.

     .   

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение расстояния между ее фокусами к длине ее действительной оси: ,(6)

Где .

Через эксцентриситет гиперболы можно выразить отношение мнимой полуоси к настоящей:

.

Эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму. Действительно, для гиперболы . Чем меньше , тем меньше отношение , тем меньше угол, который образует асимптота с осью , т. е. тем медленнее отклоняется гипербола от оси .

Директриса гиперболы называют прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и находятся на расстоянии От начала координат.

Уравнениями директриса гиперболы Есть , а гиперболы — . Директрисы гиперболы не пересекаются.

Отношение длины фокальных радиусов каждой точки гиперболы до расстояний этой же точки от соответствующих директрисы есть величина постоянная и равна эксцентриситета гиперболы, т. е.