bannerka.ua

Элементы линейной, векторной алгебры

Модуль I.Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической гнометрии

· Матрицы и операции над ними. Определитель матрицы.

— Обратная матрица.

Пусть A — квадратная матрица. Матрица A-1 называется обратной к матрице A, если выполняется условие

AA-1 = A-1A = E.

Квадратная матрица A называется вырожденной, если Элементы линейной, векторной алгебрыИ невырожденной, если Элементы линейной, векторной алгебры.

Теорема. Квадратная матрица A имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная. обратная матрица для данной невырожденной матрицы единственная.

Доказывания. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A-1. Тогда AA-1 = E, Элементы линейной, векторной алгебры. Итак, Элементы линейной, векторной алгебрыИ матрица A невырожденная.

Достаточность. Пусть Элементы линейной, векторной алгебрыИ Элементы линейной, векторной алгебры. Покажем, что обратной к матрице A будет матрица Элементы линейной, векторной алгебры, где Элементы линейной, векторной алгебры— Алгебраическое дополнение элемента Элементы линейной, векторной алгебрыОпределителя матрицы A. Действительно, по правилу умножения матриц и свойствами 8 °, 9 ° определителей имеем

Элементы линейной, векторной алгебры.

Покажем, что другой матрицы, которая была бы обратной к матрице A, не существует. Пусть Элементы линейной, векторной алгебры. Тогда Элементы линейной, векторной алгебрыЭлементы линейной, векторной алгебры. Теорема доказана.

Пример. Найти A-1, если Элементы линейной, векторной алгебры.

Решения. Вычислим определитель матрицы A и алгебраические дополнения всех ее элементов. Имеем:

Элементы линейной, векторной алгебры;

Элементы линейной, векторной алгебры

Элементы линейной, векторной алгебры

Записываем обратную матрицу

Элементы линейной, векторной алгебры.

Перейдем к рассмотрению понятия ранга матрицы. Пусть A = Am × n. Выделим в матрице A любые k строк и k столбцов, где k в пределах каждого из чисел m и n.

Определитель порядка k, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k — го порядка матрицы A.

— Ранг матрицы.

Определения. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.

Ранг матрицы A обозначается Элементы линейной, векторной алгебрыИ обладает следующими свойствами:

1°.  Элементы линейной, векторной алгебры

2°.  Элементы линейной, векторной алгебры, тогда и только тогда, когда A = О.

3°. для квадратной матрицы n — го порядка Элементы линейной, векторной алгебрыТогда и только тогда, когда матрица A невырожденная.

Вычисление ранга матрицы по определению громоздкое. Поэтому на практике применяют метод элементарных преобразований матрицы. К таким преобразованиям относятся:

1) перестановку местами любых двух строк или столбцов матрицы;

2) умножение любой строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;

3) добавление к элементам некоторого строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.

Оказывается, что при элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Поэтому матрицу с помощью этих преобразований сводят к такому виду, когда становится очевидным значение ее ранга.

Пример. Найти ранг матрицы Элементы линейной, векторной алгебры.

Решения. Выполняя элементарные преобразования матрицы, получим:

Элементы линейной, векторной алгебры~Элементы линейной, векторной алгебры~Элементы линейной, векторной алгебры~Элементы линейной, векторной алгебры

Поясним выполнены преобразования. Знак ~ между матрицами указывает, что они получены друг из друга элементарными преобразованиями. На первом шаге умножили первую строчку соответственно на -3, -3, -5 и добавили по очереди ко второму, третьему и четвертому строки. На втором шаге первый столбец умножили на 3, 3, 2, 5 и добавили согласно другим столбцов, а затем первый столбец умножили на (-1), после этого вторую строчку умножили на -2 и добавили к третьей и четвертой. На последнем шаге второй столбец умножили на Элементы линейной, векторной алгебры, затем его умножили на 7, 3, 11 и добавили к третьему, четвертого и пятого столбцов и последняя строка умножили на Элементы линейной, векторной алгебры. Полученная матрица имеет ранг 3. Итак, Элементы линейной, векторной алгебры.  

· Совместимость и определенность систем линейных уравнений.

· Расписание Вектора по базису. Линейно зависимы и линейно независимые системы Векторов.

Аналитическая геометрии.

    Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве. Полярная системы координат.

Важнейшей после прямоугольной декартовой системы координат является полярная системы координат. Она задается точкой O, которая называется полюсом и единичным вектором Элементы линейной, векторной алгебры, выходящий из этой точки. Луч, исходящий из точки O и спивнапрямлений с вектором Элементы линейной, векторной алгебрыНазывается полярной осью.

Элементы линейной, векторной алгебрыВозьмем произвольную точку M на плоскости и построим вектор Элементы линейной, векторной алгебры. Положение точки M полностью определяется углом Элементы линейной, векторной алгебрыМежду полярной осью и вектором Элементы линейной, векторной алгебрыИ длиной Элементы линейной, векторной алгебрыВектора Элементы линейной, векторной алгебры.

Числа Элементы линейной, векторной алгебрыЭлементы линейной, векторной алгебрыНазываются полярными координатами точки M.

При этом Элементы линейной, векторной алгебрыНазывают полярным радиусом точки M, а Элементы линейной, векторной алгебры— Полярным углом этой точки. Точка M с полярными координатами Элементы линейной, векторной алгебрыИ Элементы линейной, векторной алгебрыОбозначается так: Элементы линейной, векторной алгебры.

Элементы линейной, векторной алгебрыЗаметим, что начало полярной системы координат (точка O) имеет полярный радиус равен 0, а полярный угол для него определен. В целом же, полярный радиус Элементы линейной, векторной алгебрыИзменяется в пределах Элементы линейной, векторной алгебры, а полярный угол Элементы линейной, векторной алгебрыВ пределах Элементы линейной, векторной алгебры. Иногда рассматривают углы в пределах Элементы линейной, векторной алгебры.

Между декартовыми и полярными координатами точки на плоскости существует определенная связь.

Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а ось Ox — с полярной осью Ox. Тогда из геометрических соображений имеем:

     Элементы линейной, векторной алгебры.(3)

Отсюда

     Элементы линейной, векторной алгебры.(4)

Заметим, что угол Элементы линейной, векторной алгебрыИмеет два значения, поскольку он изменяется от 0 до Элементы линейной, векторной алгебры. Поэтому выбирают то значение Элементы линейной, векторной алгебры, удовлетворяющий равенству (3).

Формулы (3) называют формулами перехода от полярных до декартовых координат, а формулы (4) — формулами перехода от декартовых координат к полярным.

Элементы линейной, векторной алгебрыПример. Построить точку A в полярной системе координат, если Элементы линейной, векторной алгебрыИ найти ее декартовы координаты.

Решения. Находим декартовы координаты точки A:

Элементы линейной, векторной алгебры

Итак, Элементы линейной, векторной алгебры.

    Фокальные свойства кривых второго порядка.

Эксцентриситетом Элементы линейной, векторной алгебрыЭллипса называют отношение расстояния между его фокусами к длине его большой оси: Элементы линейной, векторной алгебры.(5)

При этом Элементы линейной, векторной алгебры, следовательно Элементы линейной, векторной алгебры.

Через эксцентриситет эллипса можно выразить отношение его полуосей:

Элементы линейной, векторной алгебры.

Отсюда, при увеличении Элементы линейной, векторной алгебрыК единице, отношение полуосей эллипса Элементы линейной, векторной алгебрыУменьшается, следовательно эллипс стал все более растянутым вдоль оси Элементы линейной, векторной алгебры.

Директриса эллипса называют две прямые перпендикулярны к фокальной оси эллипса и размещены симметрично относительно центра эллипса на расстоянии Элементы линейной, векторной алгебрыОт него.

Директрисы эллипса Элементы линейной, векторной алгебрыИмеют уравнения Элементы линейной, векторной алгебры. Эти прямые эллипс не пересекают, поскольку Элементы линейной, векторной алгебры, а Элементы линейной, векторной алгебры.

Отношение фокальных радиусов любой точки эллипса до расстояний этой точки от соответствующих директрисы есть величина постоянная и равна эксцентриситета эллипса, т. е.

     Элементы линейной, векторной алгебры.   

Эксцентриситетом гиперболы называют отношение расстояния между ее фокусами к длине ее действительной оси: Элементы линейной, векторной алгебры,(6)

Где Элементы линейной, векторной алгебры.

Через эксцентриситет гиперболы можно выразить отношение мнимой полуоси к настоящей:

Элементы линейной, векторной алгебры.

Эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму. Действительно, для гиперболы Элементы линейной, векторной алгебры. Чем меньше Элементы линейной, векторной алгебры, тем меньше отношение Элементы линейной, векторной алгебры, тем меньше угол, который образует асимптота с осью Элементы линейной, векторной алгебры, т. е. тем медленнее отклоняется гипербола от оси Элементы линейной, векторной алгебры.

Директриса гиперболы называют прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и находятся на расстоянии Элементы линейной, векторной алгебрыОт начала координат.

Уравнениями директриса гиперболы Элементы линейной, векторной алгебрыЕсть Элементы линейной, векторной алгебры, а гиперболы Элементы линейной, векторной алгебрыЭлементы линейной, векторной алгебры. Директрисы гиперболы не пересекаются.

Отношение длины фокальных радиусов каждой точки гиперболы до расстояний этой же точки от соответствующих директрисы есть величина постоянная и равна эксцентриситета гиперболы, т. е.

Элементы линейной, векторной алгебры

Tagged with: ,
Posted in Высшая математика 3к.1с
Перечень предметов
  1. Бухучет в ресторанном хозяйстве
  2. Введение в специальность 4к.2с
  3. Высшая математика 3к.1с
  4. Делопроизводство
  5. Информационные технологии в области
  6. Информационные технологии в системах качества стандартизаціісертифікаціі
  7. История украинской культуры
  8. Математические модели в расчетах на эвм
  9. Методы контроля пищевых производств
  10. Микробиология молока и молочных продуктов 3к.1с
  11. Микропроцессорные системы управления технологическими процессами
  12. Научно-практические основы технологии молока и молочных продуктов
  13. Научно-практические основы технологии мяса и мясных продуктов
  14. Общая технология пищевых производств 4к.2с
  15. Общие технологии пищевых производств
  16. Организация обслуживания в предприятиях ресторанного хозяйства
  17. Основы научных исследований и техничнои творчества
  18. Основы охраны труда
  19. Основы пидприемницькои деятельности и агробизнеса
  20. Основы физиологии и гигиены питания 3к.1с
  21. Пищевые и диетические добавки
  22. Политология
  23. Получения доброкачественного молока 3к.1с
  24. Прикладная механика
  25. Прикладная механика 4к.2с
  26. Теоретические основы технологии пищевых производств
  27. Технологический семинар
  28. Технологическое оборудование для молочной промышленности
  29. Технологическое оборудование для мьяснои промышленности
  30. Технология продукции предприятий ресторанного хозяйства
  31. Технология хранения консервирования и переработки молока
  32. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
  33. Технохимическому контроль
  34. Управление качеством продукции ресторанного хозяйства
  35. Физика
  36. Физическое воспитание 3к.1с
Возможно Вы искали: