Модуль I.Элементы линейной, векторной алгебры и аналитической гнометрии
· Матрицы и операции над ними. Определитель матрицы.
— Обратная матрица.
Пусть A — квадратная матрица. Матрица A-1 называется обратной к матрице A, если выполняется условие
AA-1 = A-1A = E.
Квадратная матрица A называется вырожденной, если И невырожденной, если
.
Теорема. Квадратная матрица A имеет обратную матрицу тогда и только тогда, когда она невырожденная. обратная матрица для данной невырожденной матрицы единственная.
Доказывания. Необходимость. Пусть для матрицы A существует обратная матрица A-1. Тогда AA-1 = E, . Итак,
И матрица A невырожденная.
Достаточность. Пусть И
. Покажем, что обратной к матрице A будет матрица
, где
— Алгебраическое дополнение элемента
Определителя матрицы A. Действительно, по правилу умножения матриц и свойствами 8 °, 9 ° определителей имеем
.
Покажем, что другой матрицы, которая была бы обратной к матрице A, не существует. Пусть . Тогда
. Теорема доказана.
Пример. Найти A-1, если .
Решения. Вычислим определитель матрицы A и алгебраические дополнения всех ее элементов. Имеем:
;
Записываем обратную матрицу
.
Перейдем к рассмотрению понятия ранга матрицы. Пусть A = Am × n. Выделим в матрице A любые k строк и k столбцов, где k в пределах каждого из чисел m и n.
Определитель порядка k, составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, называется минором k — го порядка матрицы A.
— Ранг матрицы.
Определения. Рангом матрицы A называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.
Ранг матрицы A обозначается И обладает следующими свойствами:
1°.
2°. , тогда и только тогда, когда A = О.
3°. для квадратной матрицы n — го порядка Тогда и только тогда, когда матрица A невырожденная.
Вычисление ранга матрицы по определению громоздкое. Поэтому на практике применяют метод элементарных преобразований матрицы. К таким преобразованиям относятся:
1) перестановку местами любых двух строк или столбцов матрицы;
2) умножение любой строки или столбца матрицы на число, отличное от нуля;
3) добавление к элементам некоторого строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число.
Оказывается, что при элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Поэтому матрицу с помощью этих преобразований сводят к такому виду, когда становится очевидным значение ее ранга.
Пример. Найти ранг матрицы .
Решения. Выполняя элементарные преобразования матрицы, получим:
~
~
~
Поясним выполнены преобразования. Знак ~ между матрицами указывает, что они получены друг из друга элементарными преобразованиями. На первом шаге умножили первую строчку соответственно на -3, -3, -5 и добавили по очереди ко второму, третьему и четвертому строки. На втором шаге первый столбец умножили на 3, 3, 2, 5 и добавили согласно другим столбцов, а затем первый столбец умножили на (-1), после этого вторую строчку умножили на -2 и добавили к третьей и четвертой. На последнем шаге второй столбец умножили на , затем его умножили на 7, 3, 11 и добавили к третьему, четвертого и пятого столбцов и последняя строка умножили на
. Полученная матрица имеет ранг 3. Итак,
.
· Совместимость и определенность систем линейных уравнений.
· Расписание Вектора по базису. Линейно зависимы и линейно независимые системы Векторов.
Аналитическая геометрии.
- Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей на плоскости и в пространстве. Полярная системы координат.
Важнейшей после прямоугольной декартовой системы координат является полярная системы координат. Она задается точкой O, которая называется полюсом и единичным вектором , выходящий из этой точки. Луч, исходящий из точки O и спивнапрямлений с вектором
Называется полярной осью.
Возьмем произвольную точку M на плоскости и построим вектор
. Положение точки M полностью определяется углом
Между полярной осью и вектором
И длиной
Вектора
.
Числа Называются полярными координатами точки M.
При этом Называют полярным радиусом точки M, а
— Полярным углом этой точки. Точка M с полярными координатами
И
Обозначается так:
.
Заметим, что начало полярной системы координат (точка O) имеет полярный радиус равен 0, а полярный угол для него определен. В целом же, полярный радиус
Изменяется в пределах
, а полярный угол
В пределах
. Иногда рассматривают углы в пределах
.
Между декартовыми и полярными координатами точки на плоскости существует определенная связь.
Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а ось Ox — с полярной осью Ox. Тогда из геометрических соображений имеем:
.(3)
Отсюда
.(4)
Заметим, что угол Имеет два значения, поскольку он изменяется от 0 до
. Поэтому выбирают то значение
, удовлетворяющий равенству (3).
Формулы (3) называют формулами перехода от полярных до декартовых координат, а формулы (4) — формулами перехода от декартовых координат к полярным.
Пример. Построить точку A в полярной системе координат, если
И найти ее декартовы координаты.
Решения. Находим декартовы координаты точки A:
Итак, .
- Фокальные свойства кривых второго порядка.
Эксцентриситетом Эллипса называют отношение расстояния между его фокусами к длине его большой оси:
.(5)
При этом , следовательно
.
Через эксцентриситет эллипса можно выразить отношение его полуосей:
.
Отсюда, при увеличении К единице, отношение полуосей эллипса
Уменьшается, следовательно эллипс стал все более растянутым вдоль оси
.
Директриса эллипса называют две прямые перпендикулярны к фокальной оси эллипса и размещены симметрично относительно центра эллипса на расстоянии От него.
Директрисы эллипса Имеют уравнения
. Эти прямые эллипс не пересекают, поскольку
, а
.
Отношение фокальных радиусов любой точки эллипса до расстояний этой точки от соответствующих директрисы есть величина постоянная и равна эксцентриситета эллипса, т. е.
.
Эксцентриситетом гиперболы называют отношение расстояния между ее фокусами к длине ее действительной оси: ,(6)
Где .
Через эксцентриситет гиперболы можно выразить отношение мнимой полуоси к настоящей:
.
Эксцентриситет гиперболы характеризует ее форму. Действительно, для гиперболы . Чем меньше
, тем меньше отношение
, тем меньше угол, который образует асимптота с осью
, т. е. тем медленнее отклоняется гипербола от оси
.
Директриса гиперболы называют прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и находятся на расстоянии От начала координат.
Уравнениями директриса гиперболы Есть
, а гиперболы
—
. Директрисы гиперболы не пересекаются.
Отношение длины фокальных радиусов каждой точки гиперболы до расстояний этой же точки от соответствующих директрисы есть величина постоянная и равна эксцентриситета гиперболы, т. е.