bannerka.ua

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои

Модуль II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

    Основные элементарные функции школьного курса автоматики, их свойства и графики.

Функцией называется соответствие, при которой каждому элементу x из множества D соответствует некоторый элемент y из множества E. Независимая переменная x называется аргументом, а величина y — функцией. При этом множество D называют областью определения функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, а множество E-областью значений функцииДифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Графиком функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ выбранной системе координат называется множество всех тех и только тех точек Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, для которых выполняется равенство Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Общие свойства функций:

1.Если область определения функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиСимметрична относительно начала координат и Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВыполняется равенство Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, функция называется парной. Примеры парных функций: Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Графику парной функции является линия, симметричная относительно оси ординат (оси Oy).

2.Если область определения функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиСимметрична относительно начала координат и Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВыполняется равенство Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, функция называется нечетной. Примеры нечетных функций: Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Графику парной функции является линия, симметричная относительно начала координат.

3.Нехай задали числовые функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ Дифференциальное исчисление функций одной зминноиТакие, что Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Рассмотрим функцию Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, которая любому значению Дифференциальное исчисление функций одной зминноиСтавит в соответствие число Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Такая функция называется составленной и обозначается: Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, где Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНазывают внутренней, Дифференциальное исчисление функций одной зминнои- Внешней функцией.

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНекоторые виды функций:

1. Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПостоянная и линейная функции.

Постоянной называется функция Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, где Дифференциальное исчисление функций одной зминнои- константа, некоторое действительное число. Область определения Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Функция парная. Множество значений состоит из одного числа Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Графиком является горизонтальная прямая (параллельная оси Оx), проходящей через точку Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиФункция Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНазывается прямой пропорциональностью. Область определения Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Функция нечетная. Графиком является прямая, проходящая через начало координат и образует с положительным направлением оси Ox угол Дифференциальное исчисление функций одной зминнои: Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, k — угловой коэффициент прямой. Если k> 0, то функция возрастает на всей области определения, если k <0, то функция приходит на всей области определения.

Функция Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНазывается линейной. Графику линейной функции есть некоторая прямая. Для построения этой прямой в системе координат x Oy достаточно построить две ее произвольные точки. Область определения Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Функция не является ни четной, ни нечетной (такие функции называют несимметричными, или функциями общего вида).

2. Квадратичная функция.

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиФункция вида Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, где Дифференциальное исчисление функций одной зминнои- фиксированные числа (константы), причем Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, называется квадратичной. Область определения Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Графиком квадратичной функции является парабола. Абсцисса вершины параболы находится по формуле Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Если Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, то ветки параболы направлены вверх, если Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, то ветки параболы направлены вниз.

3. Степенная функция.

Степенной называется функция вида Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, где Дифференциальное исчисление функций одной зминнои- фиксированное число, отличное от нуля. Область определения Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Если Дифференциальное исчисление функций одной зминнои- Натуральное четное число, то все свойства степенной функции совпадают со свойствами функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Если Дифференциальное исчисление функций одной зминнои- Натуральное нечетное число, то все свойства степенной функции совпадают со свойствами функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНа практике часто встречается степенная функция Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

4. Дробно-линейная функция.

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиФункция Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, где Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНазывается обратной пропорциональностью. Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Область определения Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Функция нечетная.

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЕсли Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, то график функции расположен в I и III квадрантах (Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри Дифференциальное исчисление функций одной зминнои) Функция приходит в каждом из промежутков Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Если Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, то график функции расположен в II и IV квадрантах (Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри Дифференциальное исчисление функций одной зминнои) Функция возрастает на каждом из промежутков Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

График функции имеет две асимптоты: вертикальную — ось Oy и горизонтальную — ось Ox.

Дробно-линейной называется функция вида Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Ее графиком является гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности путем параллельного сдвига на вектор Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Эта гипербола имеет вертикальную асимптоту Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ горизонтальную -Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Вершиной параболы является точка Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

    Предел функции на бесконечности. Односторонние границы функции. Бесконечные границы. Асимптоты кривой.

- Предел функции на бесконечности

Исследуя функции, которые определены на бесконечных промежутках, приходится изучать поведение этих функций при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента x, т. е. при Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИли Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Поясним вышеизложенного на конкретном примере.

Исследуем поведение функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Видим, что значение Дифференциальное исчисление функций одной зминноиБудут оставаться положительными и неограниченно уменьшаться, приближаясь к нулю. Иными словами, при Дифференциальное исчисление функций одной зминноиФункция Дифференциальное исчисление функций одной зминноиСтремится к нулю, т. е. Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Число ноль называют границей функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНа Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Определения. Пусть функция f (x) определена на промежутке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Число Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНазывается пределом функции f (x) при Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, если для любого действительного числа Дифференциальное исчисление функций одной зминноиСуществует такое действительное число Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, что для всех чисел Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВыполняется неравенство Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

С помощью логической символики определение можно записать так:

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Аналогично, для функции y = f (x), определенной на промежутке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои:

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Геометрически определение фиксирует тот факт, что график функции y = f (x) для всех достаточно больших x сколь угодно близко подходит к прямой y = A и находится для чисел Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ полосе Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. В этом случае говорят, что прямая y = A является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x).

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиГрафик функции y = f (x) может иметь и наклонные асимптоты y = kx + b, Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Определения. Пусть функция y = f (x) определена на промежутке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции y = f (x) при Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, если

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Равенство в определении означает, что расстояние точки Дифференциальное исчисление функций одной зминноиОт прямого y = kx + b стремится к нулю при Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиАналогично определяется асимптота графика функции y = f (x), определенной на промежутке Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Теорема (о наклонные асимптоты кривой). Пусть функция y = f (x) определена на промежутке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика этой функции, необходимо и достаточно существование границ

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Пример. найти наклонные асимптоты графика функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Решения. Заданная функция определена на промежутках Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Вычислим для нее указаны границы:

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Таким образом, прямая Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЯвляется асимптотой графика функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

- Бесконечные границы

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПример функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПоказывает, что дробь Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри приближении x к нулю дело неограниченно возрастает, а при приближении x к нулю слева неограниченно убывает. В этом случае говорят, соответственно, Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Определения. Пусть функция y = f (x) определена в некотором проколотом окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Говорят, что Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, если для произвольного числа Дифференциальное исчисление функций одной зминноиСуществует такое число Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, что для всех чисел Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВыполняется неравенство Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Геометрически это означает, что график функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри неограниченном приближении х к Дифференциальное исчисление функций одной зминноиДело неограниченно поднимается вверх.

Аналогично определяются

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои Дифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Прямая Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ этом случае называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x).

Пример. найти вертикальные асимптоты графика функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Решения. Замечаем, что при Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЗнаменатель дроби стремится к 0, а числитель до 4, причем

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Поэтому прямая Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЯвляется вертикальной асимптотой графика функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

    Дифференциал функции, его геометрический смысл, инвариантность формы дифференциала.
    Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба; достаточный признак выпуклости, вогнутости кривой.
    Дифференцированные функции нескольких переменных. Дифференцирования составных функций.

Неявные функции одной и двух переменных

Одним из способов задания функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЕсть задания ее уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Рассмотрим, например, уравнение Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ выясним, какие функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЕго удовлетворяют.

Очевидно, функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминноиУдовлетворяют данное уравнение. Их называют неявными функциями, определенными уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Кроме этих функций существует множество других функций, которые удовлетворяют это уравнение. Например, если зафиксировать непустое множество E действительных чисел, отличную от R, то функция

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои также удовлетворяет уравнению Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Уравнения Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, очевидно, не удовлетворяет ни действительная функция Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Уравнения Дифференциальное исчисление функций одной зминноиУдовлетворяет на множестве R действительных чисел единственная функция Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Определения. Функция Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, которая превращает уравнение Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ тождество, называется неявной функцией, определенной этим уравнением.

Замечания. Термин неявная функция характеризует не природу функции, а аналитический способ ее задания.

Следующая теорема дает достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции.

Теорема. Пусть заданы уравнения Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, где функция Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНепрерывная вместе с частными производными Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ некоторой окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, причем Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, а Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Тогда это уравнение определяет в некоторой окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЕдиную непрерывную вместе с производной функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиТакую, что Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, а

  Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, где Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.(1)

Теорема принимаем без доказательства. Геометрически она означает, что поверхность, заданная уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, в некоторой окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, пересекает координатную плоскость Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(Т. е. плоскость XOY) по некоторой кривой, которая и является графиком неявной функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Из уравнения касательной к кривой Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ точке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, где Дифференциальное исчисление функций одной зминнои,

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои

И формулы (1) следует уравнение касательной в точке Дифференциальное исчисление функций одной зминноиК кривой, заданной уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминнои

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои,(2)

Которое записывают в симметричном виде так:

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(3)

Уравнение нормали в точке Дифференциальное исчисление функций одной зминноиК кривой, заданной уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, имеет вид

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(4)

Одним из способов задания функции двух переменных Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЕсть задания ее уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Например, уравнение Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЗадает в круге Дифференциальное исчисление функций одной зминноиФункцию Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, а уравнение Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНе задает никакой действительной функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Существует теорема, аналогичная теореме 6.3, которая дает достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, определенной уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Дифференциальное исчисление функций одной зминноиУравнения Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПри определенных условиях задает некоторую поверхность Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Будем считать, что функция Дифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференцируема в некоторой окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, которая на поверхности Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Проведем через точку Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНа поверхности Дифференциальное исчисление функций одной зминноиПроизвольную кривую L и касательную к ней в точке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(Рис).

Пусть параметрические уравнения кривой L: Дифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминнои, а координаты точки Дифференциальное исчисление функций одной зминнои: Дифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминноиДифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, поскольку кривая L на поверхности Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Поэтому по правилу дифференцирования сложной функции имеем

    Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(5)

Равенство (5) является скалярным произведением векторов Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Но вектор Дифференциальное исчисление функций одной зминнои- Это Вектор касательной к кривой L в точке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Поэтому из равенства (5) следует, что касательная к каждой кривой на поверхности Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, проходящей через точку Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, перпендикулярна вектору Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, т. е. все такие касательные лежат в одной плоскости, проходящей через точку Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ перпендикулярна вектору Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Эту плоскость называют касательной к поверхности Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ точке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Ее уравнение имеет вид

    Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(6)

В частности, если поверхность Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЗадана уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, то из уравнения (6) получим уравнение касательной плоскости к поверхности Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ виде

  Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(7)

Из уравнения (7) следует геометрический смысл дифференциала функции Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Правая часть равенства (7) является дифференциалом функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВычисленным в точке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. В левой части равенства имеем разницу Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, что является приростом аппликаты Дифференциальное исчисление функций одной зминноиКасательной плоскости к поверхности Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ точке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Таким образом, дифференциал функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ точке Дифференциальное исчисление функций одной зминноиРавен приросту аппликаты Дифференциальное исчисление функций одной зминноиКасательной плоскости к поверхности, заданной уравнением Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ точке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Из уравнений (6) и (7) получаем соответствующие уравнения нормали к поверхности:

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(8)

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои (9)

Формула Тейлора для функции двух переменных

Как и для функции одной переменной, для функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиМногих переменных имеет место формула Тейлора, которая в дифференциальной форме записывается так:

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(10)

Где запись Дифференциальное исчисление функций одной зминноиОзначает приращение функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиВ точке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, есть разница Дифференциальное исчисление функций одной зминнои, а точка Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЛежит на отрезке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

В частности, для функции Дифференциальное исчисление функций одной зминноиДвух переменных, имеющая в некоторой окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНепрерывные частные производные до Дифференциальное исчисление функций одной зминнои- Го порядка включительно, прирост

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(11)

Где точка Дифференциальное исчисление функций одной зминноиЛежит между точками Дифференциальное исчисление функций одной зминноиИ Дифференциальное исчисление функций одной зминноиНа отрезке Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Формулу (11) принимаем без доказательства.

При Дифференциальное исчисление функций одной зминноиРавенство (11) принимает вид

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(12)

Откуда

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои,(13)

Где максимум берется в окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной зминноиРадиуса Дифференциальное исчисление функций одной зминнои. Неравенство (13) дает оценку точности приближенной формулы Дифференциальное исчисление функций одной зминнои.

Формула Тейлора (11) используется при установлении достаточных условий экстремума функции двух переменных. Заметим, что через частные производные эта формула имеет более громоздкий запись:

Дифференциальное исчисление функций одной зминнои(14)

Tagged with: ,
Posted in Высшая математика 3к.1с

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован.

Можно использовать следующие HTML-теги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>

Перечень предметов
  1. Бухучет в ресторанном хозяйстве
  2. Введение в специальность 4к.2с
  3. Высшая математика 3к.1с
  4. Делопроизводство
  5. Информационные технологии в области
  6. Информационные технологии в системах качества стандартизаціісертифікаціі
  7. История украинской культуры
  8. Математические модели в расчетах на эвм
  9. Методы контроля пищевых производств
  10. Микробиология молока и молочных продуктов 3к.1с
  11. Микропроцессорные системы управления технологическими процессами
  12. Научно-практические основы технологии молока и молочных продуктов
  13. Научно-практические основы технологии мяса и мясных продуктов
  14. Общая технология пищевых производств 4к.2с
  15. Общие технологии пищевых производств
  16. Организация обслуживания в предприятиях ресторанного хозяйства
  17. Основы научных исследований и техничнои творчества
  18. Основы охраны труда
  19. Основы пидприемницькои деятельности и агробизнеса
  20. Основы физиологии и гигиены питания 3к.1с
  21. Пищевые и диетические добавки
  22. Политология
  23. Получения доброкачественного молока 3к.1с
  24. Прикладная механика
  25. Прикладная механика 4к.2с
  26. Теоретические основы технологии пищевых производств
  27. Технологический семинар
  28. Технологическое оборудование для молочной промышленности
  29. Технологическое оборудование для мьяснои промышленности
  30. Технология продукции предприятий ресторанного хозяйства
  31. Технология хранения консервирования и переработки молока
  32. Технология хранения, консервирования и переработки мяса
  33. Технохимическому контроль
  34. Управление качеством продукции ресторанного хозяйства
  35. Физика
  36. Физическое воспитание 3к.1с
Возможно Вы искали: