Модуль II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.
- Основные элементарные функции школьного курса автоматики, их свойства и графики.
Функцией называется соответствие, при которой каждому элементу x из множества D соответствует некоторый элемент y из множества E. Независимая переменная x называется аргументом, а величина y — функцией. При этом множество D называют областью определения функции , а множество E-областью значений функции
.
Графиком функции В выбранной системе координат называется множество всех тех и только тех точек
, для которых выполняется равенство
.
Общие свойства функций:
1.Если область определения функции Симметрична относительно начала координат и
Выполняется равенство
, функция называется парной. Примеры парных функций:
. Графику парной функции является линия, симметричная относительно оси ординат (оси Oy).
2.Если область определения функции Симметрична относительно начала координат и
Выполняется равенство
, функция называется нечетной. Примеры нечетных функций:
. Графику парной функции является линия, симметричная относительно начала координат.
3.Нехай задали числовые функции И
Такие, что
. Рассмотрим функцию
, которая любому значению
Ставит в соответствие число
. Такая функция называется составленной и обозначается:
, где
Называют внутренней,
— Внешней функцией.
Некоторые виды функций:
1. Постоянная и линейная функции.
Постоянной называется функция , где
— константа, некоторое действительное число. Область определения
. Функция парная. Множество значений состоит из одного числа
. Графиком является горизонтальная прямая (параллельная оси Оx), проходящей через точку
.
Функция
Называется прямой пропорциональностью. Область определения
. Функция нечетная. Графиком является прямая, проходящая через начало координат и образует с положительным направлением оси Ox угол
:
, k — угловой коэффициент прямой. Если k> 0, то функция возрастает на всей области определения, если k <0, то функция приходит на всей области определения.
Функция Называется линейной. Графику линейной функции есть некоторая прямая. Для построения этой прямой в системе координат x Oy достаточно построить две ее произвольные точки. Область определения
.
Функция не является ни четной, ни нечетной (такие функции называют несимметричными, или функциями общего вида).
2. Квадратичная функция.
Функция вида
, где
— фиксированные числа (константы), причем
, называется квадратичной. Область определения
. Графиком квадратичной функции является парабола. Абсцисса вершины параболы находится по формуле
. Если
, то ветки параболы направлены вверх, если
, то ветки параболы направлены вниз.
3. Степенная функция.
Степенной называется функция вида , где
— фиксированное число, отличное от нуля. Область определения
.
Если — Натуральное четное число, то все свойства степенной функции совпадают со свойствами функции
.
Если — Натуральное нечетное число, то все свойства степенной функции совпадают со свойствами функции
.
На практике часто встречается степенная функция
.
4. Дробно-линейная функция.
Функция
, где
Называется обратной пропорциональностью. Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Область определения
. Функция нечетная.
Если
, то график функции расположен в I и III квадрантах (
При
,
При
) Функция приходит в каждом из промежутков
.
Если , то график функции расположен в II и IV квадрантах (
При
,
При
) Функция возрастает на каждом из промежутков
.
График функции имеет две асимптоты: вертикальную — ось Oy и горизонтальную — ось Ox.
Дробно-линейной называется функция вида . Ее графиком является гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности путем параллельного сдвига на вектор
. Эта гипербола имеет вертикальную асимптоту
И горизонтальную —
. Вершиной параболы является точка
.
- Предел функции на бесконечности. Односторонние границы функции. Бесконечные границы. Асимптоты кривой.
— Предел функции на бесконечности
Исследуя функции, которые определены на бесконечных промежутках, приходится изучать поведение этих функций при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента x, т. е. при Или
. Поясним вышеизложенного на конкретном примере.
Исследуем поведение функции При неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что
. Видим, что значение
Будут оставаться положительными и неограниченно уменьшаться, приближаясь к нулю. Иными словами, при
Функция
Стремится к нулю, т. е.
. Число ноль называют границей функции
На
.
Определения. Пусть функция f (x) определена на промежутке . Число
Называется пределом функции f (x) при
, если для любого действительного числа
Существует такое действительное число
, что для всех чисел
Выполняется неравенство
.
С помощью логической символики определение можно записать так:
.
Аналогично, для функции y = f (x), определенной на промежутке :
.
Геометрически определение фиксирует тот факт, что график функции y = f (x) для всех достаточно больших x сколь угодно близко подходит к прямой y = A и находится для чисел В полосе
. В этом случае говорят, что прямая y = A является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x).
График функции y = f (x) может иметь и наклонные асимптоты y = kx + b,
.
Определения. Пусть функция y = f (x) определена на промежутке . Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции y = f (x) при
, если
.
Равенство в определении означает, что расстояние точки От прямого y = kx + b стремится к нулю при
.
Аналогично определяется асимптота графика функции y = f (x), определенной на промежутке
При
.
Теорема (о наклонные асимптоты кривой). Пусть функция y = f (x) определена на промежутке . Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика этой функции, необходимо и достаточно существование границ
И
.
Пример. найти наклонные асимптоты графика функции .
Решения. Заданная функция определена на промежутках И
. Вычислим для нее указаны границы:
.
Таким образом, прямая Является асимптотой графика функции
При
.
— Бесконечные границы
Пример функции
Показывает, что дробь
При приближении x к нулю дело неограниченно возрастает, а при приближении x к нулю слева неограниченно убывает. В этом случае говорят, соответственно,
И
.
Определения. Пусть функция y = f (x) определена в некотором проколотом окрестности точки . Говорят, что
, если для произвольного числа
Существует такое число
, что для всех чисел
Выполняется неравенство
.
Геометрически это означает, что график функции При неограниченном приближении х к
Дело неограниченно поднимается вверх.
Аналогично определяются
,
.
Прямая В этом случае называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x).
Пример. найти вертикальные асимптоты графика функции .
Решения. Замечаем, что при Знаменатель дроби стремится к 0, а числитель до 4, причем
.
Поэтому прямая Является вертикальной асимптотой графика функции
.
- Дифференциал функции, его геометрический смысл, инвариантность формы дифференциала.
- Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба; достаточный признак выпуклости, вогнутости кривой.
- Дифференцированные функции нескольких переменных. Дифференцирования составных функций.
Неявные функции одной и двух переменных
Одним из способов задания функции Есть задания ее уравнением
. Рассмотрим, например, уравнение
И выясним, какие функции
Его удовлетворяют.
Очевидно, функции Удовлетворяют данное уравнение. Их называют неявными функциями, определенными уравнением
. Кроме этих функций существует множество других функций, которые удовлетворяют это уравнение. Например, если зафиксировать непустое множество E действительных чисел, отличную от R, то функция
также удовлетворяет уравнению
.
Уравнения , очевидно, не удовлетворяет ни действительная функция
. Уравнения
Удовлетворяет на множестве R действительных чисел единственная функция
.
Определения. Функция , которая превращает уравнение
В тождество, называется неявной функцией, определенной этим уравнением.
Замечания. Термин неявная функция характеризует не природу функции, а аналитический способ ее задания.
Следующая теорема дает достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции.
Теорема. Пусть заданы уравнения , где функция
Непрерывная вместе с частными производными
И
В некоторой окрестности точки
, причем
, а
. Тогда это уравнение определяет в некоторой окрестности точки
Единую непрерывную вместе с производной функции
Такую, что
, а
, где
.(1)
Теорема принимаем без доказательства. Геометрически она означает, что поверхность, заданная уравнением , в некоторой окрестности точки
, пересекает координатную плоскость
(Т. е. плоскость XOY) по некоторой кривой, которая и является графиком неявной функции
.
Из уравнения касательной к кривой В точке
, где
,
И формулы (1) следует уравнение касательной в точке К кривой, заданной уравнением
,(2)
Которое записывают в симметричном виде так:
(3)
Уравнение нормали в точке К кривой, заданной уравнением
, имеет вид
(4)
Одним из способов задания функции двух переменных Есть задания ее уравнением
. Например, уравнение
Задает в круге
Функцию
, а уравнение
Не задает никакой действительной функции
. Существует теорема, аналогичная теореме 6.3, которая дает достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции
, определенной уравнением
.
Уравнения
При определенных условиях задает некоторую поверхность
. Будем считать, что функция
Дифференцируема в некоторой окрестности точки
, которая на поверхности
. Проведем через точку
На поверхности
Произвольную кривую L и касательную к ней в точке
(Рис).
Пусть параметрические уравнения кривой L: , а координаты точки
:
.
, поскольку кривая L на поверхности
. Поэтому по правилу дифференцирования сложной функции имеем
(5)
Равенство (5) является скалярным произведением векторов И
. Но вектор
— Это Вектор касательной к кривой L в точке
. Поэтому из равенства (5) следует, что касательная к каждой кривой на поверхности
, проходящей через точку
, перпендикулярна вектору
, т. е. все такие касательные лежат в одной плоскости, проходящей через точку
И перпендикулярна вектору
. Эту плоскость называют касательной к поверхности
В точке
. Ее уравнение имеет вид
(6)
В частности, если поверхность Задана уравнением
, то из уравнения (6) получим уравнение касательной плоскости к поверхности
В виде
(7)
Из уравнения (7) следует геометрический смысл дифференциала функции . Правая часть равенства (7) является дифференциалом функции
Вычисленным в точке
. В левой части равенства имеем разницу
, что является приростом аппликаты
Касательной плоскости к поверхности
В точке
.
Таким образом, дифференциал функции В точке
Равен приросту аппликаты
Касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением
В точке
.
Из уравнений (6) и (7) получаем соответствующие уравнения нормали к поверхности:
(8)
(9)
Формула Тейлора для функции двух переменных
Как и для функции одной переменной, для функции Многих переменных имеет место формула Тейлора, которая в дифференциальной форме записывается так:
(10)
Где запись Означает приращение функции
В точке
, есть разница
, а точка
Лежит на отрезке
.
В частности, для функции Двух переменных, имеющая в некоторой окрестности точки
Непрерывные частные производные до
— Го порядка включительно, прирост
(11)
Где точка Лежит между точками
И
На отрезке
. Формулу (11) принимаем без доказательства.
При Равенство (11) принимает вид
(12)
Откуда
,(13)
Где максимум берется в окрестности точки Радиуса
. Неравенство (13) дает оценку точности приближенной формулы
.
Формула Тейлора (11) используется при установлении достаточных условий экстремума функции двух переменных. Заметим, что через частные производные эта формула имеет более громоздкий запись:
(14)