Модуль II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Основные элементарные функции школьного курса автоматики, их свойства и графики.

Функцией называется соответствие, при которой каждому элементу x из множества D соответствует некоторый элемент y из множества E. Независимая переменная x называется аргументом, а величина y — функцией. При этом множество D называют областью определения функции , а множество E-областью значений функции.

Графиком функции В выбранной системе координат называется множество всех тех и только тех точек , для которых выполняется равенство .

Общие свойства функций:

1.Если область определения функции Симметрична относительно начала координат и Выполняется равенство , функция называется парной. Примеры парных функций: . Графику парной функции является линия, симметричная относительно оси ординат (оси Oy).

2.Если область определения функции Симметрична относительно начала координат и Выполняется равенство , функция называется нечетной. Примеры нечетных функций: . Графику парной функции является линия, симметричная относительно начала координат.

3.Нехай задали числовые функции И Такие, что . Рассмотрим функцию , которая любому значению Ставит в соответствие число . Такая функция называется составленной и обозначается: , где Называют внутренней, — Внешней функцией.

Некоторые виды функций:

1. Постоянная и линейная функции.

Постоянной называется функция , где — константа, некоторое действительное число. Область определения . Функция парная. Множество значений состоит из одного числа . Графиком является горизонтальная прямая (параллельная оси Оx), проходящей через точку .

Функция Называется прямой пропорциональностью. Область определения . Функция нечетная. Графиком является прямая, проходящая через начало координат и образует с положительным направлением оси Ox угол : , k — угловой коэффициент прямой. Если k> 0, то функция возрастает на всей области определения, если k <0, то функция приходит на всей области определения.

Функция Называется линейной. Графику линейной функции есть некоторая прямая. Для построения этой прямой в системе координат x Oy достаточно построить две ее произвольные точки. Область определения .

Функция не является ни четной, ни нечетной (такие функции называют несимметричными, или функциями общего вида).

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где — фиксированные числа (константы), причем , называется квадратичной. Область определения . Графиком квадратичной функции является парабола. Абсцисса вершины параболы находится по формуле . Если , то ветки параболы направлены вверх, если , то ветки параболы направлены вниз.

3. Степенная функция.

Степенной называется функция вида , где — фиксированное число, отличное от нуля. Область определения .

Если — Натуральное четное число, то все свойства степенной функции совпадают со свойствами функции .

Если — Натуральное нечетное число, то все свойства степенной функции совпадают со свойствами функции .

На практике часто встречается степенная функция .

4. Дробно-линейная функция.

Функция , где Называется обратной пропорциональностью. Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Область определения . Функция нечетная.

Если , то график функции расположен в I и III квадрантах (При , При ) Функция приходит в каждом из промежутков .

Если , то график функции расположен в II и IV квадрантах (При , При ) Функция возрастает на каждом из промежутков .

График функции имеет две асимптоты: вертикальную — ось Oy и горизонтальную — ось Ox.

Дробно-линейной называется функция вида . Ее графиком является гипербола, получаемая из графика обратной пропорциональности путем параллельного сдвига на вектор . Эта гипербола имеет вертикальную асимптоту И горизонтальную —. Вершиной параболы является точка .

Предел функции на бесконечности. Односторонние границы функции. Бесконечные границы. Асимптоты кривой.

— Предел функции на бесконечности

Исследуя функции, которые определены на бесконечных промежутках, приходится изучать поведение этих функций при сколь угодно больших по модулю значениях аргумента x, т. е. при Или . Поясним вышеизложенного на конкретном примере.

Исследуем поведение функции При неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что . Видим, что значение Будут оставаться положительными и неограниченно уменьшаться, приближаясь к нулю. Иными словами, при Функция Стремится к нулю, т. е. . Число ноль называют границей функции На .

Определения. Пусть функция f (x) определена на промежутке . Число Называется пределом функции f (x) при , если для любого действительного числа Существует такое действительное число , что для всех чисел Выполняется неравенство .

С помощью логической символики определение можно записать так:

.

Аналогично, для функции y = f (x), определенной на промежутке :

.

Геометрически определение фиксирует тот факт, что график функции y = f (x) для всех достаточно больших x сколь угодно близко подходит к прямой y = A и находится для чисел В полосе . В этом случае говорят, что прямая y = A является горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x).

График функции y = f (x) может иметь и наклонные асимптоты y = kx + b, .

Определения. Пусть функция y = f (x) определена на промежутке . Прямая y = kx + b называется асимптотой графика функции y = f (x) при , если

.

Равенство в определении означает, что расстояние точки От прямого y = kx + b стремится к нулю при .

Аналогично определяется асимптота графика функции y = f (x), определенной на промежутке При .

Теорема (о наклонные асимптоты кривой). Пусть функция y = f (x) определена на промежутке . Для того, чтобы прямая y = kx + b была асимптотой графика этой функции, необходимо и достаточно существование границ

И .

Пример. найти наклонные асимптоты графика функции .

Решения. Заданная функция определена на промежутках И . Вычислим для нее указаны границы:

.

Таким образом, прямая Является асимптотой графика функции При .

— Бесконечные границы

Пример функции Показывает, что дробь При приближении x к нулю дело неограниченно возрастает, а при приближении x к нулю слева неограниченно убывает. В этом случае говорят, соответственно, И .

Определения. Пусть функция y = f (x) определена в некотором проколотом окрестности точки . Говорят, что , если для произвольного числа Существует такое число , что для всех чисел Выполняется неравенство .

Геометрически это означает, что график функции При неограниченном приближении х к Дело неограниченно поднимается вверх.

Аналогично определяются

,  .

Прямая В этом случае называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x).

Пример. найти вертикальные асимптоты графика функции .

Решения. Замечаем, что при Знаменатель дроби стремится к 0, а числитель до 4, причем

.

Поэтому прямая Является вертикальной асимптотой графика функции .

Дифференциал функции, его геометрический смысл, инвариантность формы дифференциала.

Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба; достаточный признак выпуклости, вогнутости кривой.

Дифференцированные функции нескольких переменных. Дифференцирования составных функций.

Неявные функции одной и двух переменных

Одним из способов задания функции Есть задания ее уравнением . Рассмотрим, например, уравнение И выясним, какие функции Его удовлетворяют.

Очевидно, функции Удовлетворяют данное уравнение. Их называют неявными функциями, определенными уравнением . Кроме этих функций существует множество других функций, которые удовлетворяют это уравнение. Например, если зафиксировать непустое множество E действительных чисел, отличную от R, то функция

также удовлетворяет уравнению .

Уравнения , очевидно, не удовлетворяет ни действительная функция . Уравнения Удовлетворяет на множестве R действительных чисел единственная функция .

Определения. Функция , которая превращает уравнение В тождество, называется неявной функцией, определенной этим уравнением.

Замечания. Термин неявная функция характеризует не природу функции, а аналитический способ ее задания.

Следующая теорема дает достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции.

Теорема. Пусть заданы уравнения , где функция Непрерывная вместе с частными производными И В некоторой окрестности точки , причем , а . Тогда это уравнение определяет в некоторой окрестности точки Единую непрерывную вместе с производной функции Такую, что , а

  , где .(1)

Теорема принимаем без доказательства. Геометрически она означает, что поверхность, заданная уравнением , в некоторой окрестности точки , пересекает координатную плоскость (Т. е. плоскость XOY) по некоторой кривой, которая и является графиком неявной функции .

Из уравнения касательной к кривой В точке , где ,

И формулы (1) следует уравнение касательной в точке К кривой, заданной уравнением

,(2)

Которое записывают в симметричном виде так:

(3)

Уравнение нормали в точке К кривой, заданной уравнением , имеет вид

(4)

Одним из способов задания функции двух переменных Есть задания ее уравнением . Например, уравнение Задает в круге Функцию , а уравнение Не задает никакой действительной функции . Существует теорема, аналогичная теореме 6.3, которая дает достаточные условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявной функции , определенной уравнением .

Уравнения При определенных условиях задает некоторую поверхность . Будем считать, что функция Дифференцируема в некоторой окрестности точки , которая на поверхности . Проведем через точку На поверхности Произвольную кривую L и касательную к ней в точке (Рис).

Пусть параметрические уравнения кривой L: , а координаты точки : .

, поскольку кривая L на поверхности . Поэтому по правилу дифференцирования сложной функции имеем

    (5)

Равенство (5) является скалярным произведением векторов И . Но вектор — Это Вектор касательной к кривой L в точке . Поэтому из равенства (5) следует, что касательная к каждой кривой на поверхности , проходящей через точку , перпендикулярна вектору , т. е. все такие касательные лежат в одной плоскости, проходящей через точку И перпендикулярна вектору . Эту плоскость называют касательной к поверхности В точке . Ее уравнение имеет вид

    (6)

В частности, если поверхность Задана уравнением , то из уравнения (6) получим уравнение касательной плоскости к поверхности В виде

  (7)

Из уравнения (7) следует геометрический смысл дифференциала функции . Правая часть равенства (7) является дифференциалом функции Вычисленным в точке . В левой части равенства имеем разницу , что является приростом аппликаты Касательной плоскости к поверхности В точке .

Таким образом, дифференциал функции В точке Равен приросту аппликаты Касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением В точке .

Из уравнений (6) и (7) получаем соответствующие уравнения нормали к поверхности:

(8)

(9)

Формула Тейлора для функции двух переменных

Как и для функции одной переменной, для функции Многих переменных имеет место формула Тейлора, которая в дифференциальной форме записывается так:

(10)

Где запись Означает приращение функции В точке , есть разница , а точка Лежит на отрезке .

В частности, для функции Двух переменных, имеющая в некоторой окрестности точки Непрерывные частные производные до — Го порядка включительно, прирост

(11)

Где точка Лежит между точками И На отрезке . Формулу (11) принимаем без доказательства.

При Равенство (11) принимает вид

(12)

Откуда

,(13)

Где максимум берется в окрестности точки Радиуса . Неравенство (13) дает оценку точности приближенной формулы .

Формула Тейлора (11) используется при установлении достаточных условий экстремума функции двух переменных. Заметим, что через частные производные эта формула имеет более громоздкий запись:

(14)