Иногда при обработке линейной зависимости необходимо найти координату точки пересечения графиком оси x:

Соответствующая дисперсия

.

Для практических расчетов методом наименьших квадратов удобно использовать видоизмененные выражения, получаемые при введении следующих величин:

,

,.

В таком случае:

,(8.11)
:

.

Выражения (8.11) удобны и для прямых расчетов на калькуляторе, и для программирования вычислений при использовании компьютера. Кстати, много прикладных компьютерных программ содержат метод наименьших квадратов. Часто после введения экспериментальных точек они строят график зависимости и сразу автоматически обрабатывают ее для определения оценок параметров и их погрешностей.

В заключение этого раздела применим выражения метода наименьших квадратов (8.11) к обработке данных, содержащихся в табл.8.2.

Получим:

= 2,575 · 10-3
= 2324
a = R = 916
s2 = 15,1
sa2 = 3405
sa = sR = 58
T (0,68; 7) = 1,1 (см. главу 9)
DR = 58.1 / 1 = 64 Ом
R = (0,92 ± 0,06) · 103 Ом

При сравнении результата метода парных точек и результата метода наименьших квадратов можно сделать вывод об их достаточно хорошее совпадение. Конечно, речь идет только о сравнении в пределах погрешности результатов, в методе наименьших квадратов оценена в полтора раза меньше.

9. Статистический анализ результатов

Анализ результатов эксперимента с помощью математической статистики часто сводится к проверке справедливости предположений, Гипотез , относительно исследуемого физического явления и полученных в эксперименте данных. Например, к проверке предположение о совпадении результатов измерений одной и той же постоянной физической величины, если измерения выполнены независимыми исследователями на разных установках. Каждый измерил среднее и дисперсию: И — Одинаковые результаты? Ответ на такой вопрос может быть дано только с определенной степенью вероятности, учитывающий распределение погрешностей результатов измерений. Ниже будет показано, что один из способов анализа основывается на понятии доверительной вероятности, введенной при рассмотрении погрешности прямого многократного измерения.

Гипотезой, подлежащей проверке, может стать правомерность применения физической модели, выбранной для описания эксперимента. Поскольку модель позволяет теоретически предсказывать вид функциональной связи между измеряемыми величинами, то статистический анализ экспериментальной зависимости, проведенный с учетом выводов модели, дает информацию о том достаточно справедливый модельный описание. Как и в предыдущем случае, вывод будет основываться на вероятностном подходе, включает в себя использование статистических критериев, различных в случае выполнения и невыполнения первоначальной гипотезы. В каждом случае рассчитывают конкретную вероятность, характеризующий возможность реализации полученного набора экспериментальных данных. Поэтому статистика оперирует вероятностными категориями, не дает и не может дать однозначных ответов.

9.1. Проверка гипотезы о совпадении экспериментального среднего и известного значения величины

Рассмотрим набор результатов x1, x2, ….., xn многократного измерения нормально распределенной величины x. Из этих данных по формулам (3.2) и (4.2) получены оценки И . Проверяется гипотеза о том, что = X0, где x0 — заданное значение измеряемой величины, точно известно, например, по расчетам или справочных таблиц.

Введем новую величину, содержащий как экспериментальное среднее, так и заданное значение:

(9.1)

Если равенство = X0 справедлива для , то распределение величины t при конечном количестве измерений n будет распределением Стьюдента.

Форма этого распределения показана на рис.9.1. Он симметричен относительно нуля и при увеличении n переходит в нормальное распределение с параметрами = 0 и st2 = 1. При малых n максимум распределения Стьюдента ниже максимума нормального распределения, а на крыльях, то есть при удалении от центра, график распределения Стьюдента проходит выше.

Рис.9.1. Распределение Стьюдента для разного количества измерений.

Каковы причины, приводящие к появлению распределения Стьюдента? Для ответа на этот вопрос представим эксперимент, в котором проводят многократные измерения величины x, нормально распределенной вокруг нуля (= 0) с точно известной дисперсией s2.Послидовно выполним серии из n измерений, в каждой из которых результаты (x1, x2, ……, xn) j используем для получения И , где символ j обозначает порядковый номер многократного измерения. Значение И , являются экспериментальными оценкам среднего и дисперсии, поэтому они, как и сама случайная величина x, подвержены влиянию случайного фактора, что приводит к различным наборам данных, реализованных в каждой серии результатов многократного измерения. Среднее Находят согласно выражению , оно представляет собой сумму нормально распределенных величин. Получается, распределение величин Также окажется нормальным с дисперсией (Согласно выражению (4.2)). Если распределения x и Построить на одном графике, то r (, n) окажется выше и несколько узким от распределения r (x), что хорошо видно на рис.9.2.