|
|
|
103 ОМ2 |
||
1-5 |
32,9 |
35,81 |
1088 |
113 |
12,8 |
2-6 |
45,8 |
38,22 |
834 |
-141 |
19,9 |
3-7 |
44,7 |
38,65 |
865 |
-110 |
12,1 |
4-8 |
36,8 |
40,88 |
1111 |
136 |
18,5 |
= 975 Ом,
= 63,3 * 103 ОМ2
.
Для n = 4 и доверительной вероятности a = 0,68Коэффициент Стьюдента t (0,68 4) = 1,3 (табл.2 Приложения). Погрешность DR = 72,6 * 1,3 = 94,4 Ом. Окончательный результат R = (0,98 ± 0,09) * 103Ом. Точность измерения сопротивления небольшая, что свидетельствует о наличии значительных экспериментальных погрешностей.
8.4. Метод наименьших квадратов
Этот метод является одним из наиболее распространенных приемов статистической обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональных зависимостей физических величин друг от друга. В том числе, он применим к линейной зависимости и позволяет получить достоверные оценки ее параметров a и b, а также оценить их погрешности. Рассмотрим статистическую модель эксперимента, в котором исследуют линейную зависимость. Пусть проведено n парных измерений величин x и y: xi, yi, где i = 1, … , N. По экспериментальных данных необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их дисперсий sa2и sb2. О природе экспериментальных погрешностей сделаем Следующие предположения.
1. Значение xi известны точно, то есть без погрешностей.
Конечно, в реальном эксперименте такое предположение вряд ли выполняется. Скорее всего, погрешности Dxi распределены нормально и могут быть перечислены в погрешности Dyi. Это вызывает увеличение дисперсии s2 распределения величин yi, что должно учитываться в процессе обработки данных методом наименьших квадратов. Как показано ниже, так и произойдет, а значит, не будет ошибкой считать xi известными точно.
2. Распределения величин yi взаимно независимы, имеют ту же дисперсию s2 и соответствуют нормальному закону. Распределения yi имеют средние значения , совпадающие с точным значением функции axi + b. Это предположение иллюстрирует рис.8.4.
Рис.8.4. Иллюстрация модели метода наименьших квадратов.
Распределение плотности вероятности величины yi вокруг точного значения axi + b задает выражение:
Плотность вероятности реализации полученных экспериментальных данных L (y1, y2, ……., yn), что называется функцией правдоподобия, определяют через произведение плотностей вероятностей распределений отдельных измерений, так как распределения yi независимы:
(8.4)
Натуральный логарифм этой функции:
.
Оценкам a, b, s2 будет правильным считать значения, при которых L и lnL максимальные, т. е. реализуется самая вероятность получения набора экспериментальных данных. Экстремум функции lnL находят дифференцированием:
После дифференцирования система уравнений По искомых параметров примет вид:
,
, (8.5)
.
Два первых уравнения в (8.5) есть не что иное, как условие минимума выражения,
(8.6)
Составленного из суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от точной линейной зависимости, в связи с чем описываемый метод и получил название метода наименьших квадратов. Решив (8.5), находим
(8.7)
Согласно выводам математической статистики, для получения несмещенной относительно точного значения оценки дисперсии решение, найденное с (8.5), необходимо домножить на
(8.8)
Оценим теперь дисперсии параметров. Преобразуем выражения для a:
, где
.
После преобразования видно, что a получается как линейная комбинация взаимно независимых величин yj, потому что коэффициенты kj заданы точно — согласно пункту 1 предположений о статистике исследуемых величин. Следовательно, параметр a распределен нормально, а его дисперсия sa2являе собой линейную комбинацию дисперсий величин yj с коэффициентами kj2 — это свойство добавления нормальных распределений уже встречалась при рассмотрении погрешностей косвенных измерений.
. (8.9)
Преобразуем выражения для b:
.
Параметр b также нормально распределен. Его дисперсия:
.
С (8.9) выразим s второй подставим в предыдущее выражение:
,
.
(8.10)