= 975 Ом,
= 63,3 * 103 ОМ2
.

Для n = 4 и доверительной вероятности a = 0,68Коэффициент Стьюдента t (0,68 4) = 1,3 (табл.2 Приложения). Погрешность DR = 72,6 * 1,3 = 94,4 Ом. Окончательный результат R = (0,98 ± 0,09) * 103Ом. Точность измерения сопротивления небольшая, что свидетельствует о наличии значительных экспериментальных погрешностей.

8.4. Метод наименьших квадратов

Этот метод является одним из наиболее распространенных приемов статистической обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональных зависимостей физических величин друг от друга. В том числе, он применим к линейной зависимости и позволяет получить достоверные оценки ее параметров a и b, а также оценить их погрешности. Рассмотрим статистическую модель эксперимента, в котором исследуют линейную зависимость. Пусть проведено n парных измерений величин x и y: xi, yi, где i = 1, … , N. По экспериментальных данных необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их дисперсий sa2и sb2. О природе экспериментальных погрешностей сделаем Следующие предположения.

1. Значение xi известны точно, то есть без погрешностей.

Конечно, в реальном эксперименте такое предположение вряд ли выполняется. Скорее всего, погрешности Dxi распределены нормально и могут быть перечислены в погрешности Dyi. Это вызывает увеличение дисперсии s2 распределения величин yi, что должно учитываться в процессе обработки данных методом наименьших квадратов. Как показано ниже, так и произойдет, а значит, не будет ошибкой считать xi известными точно.

2. Распределения величин yi взаимно независимы, имеют ту же дисперсию s2 и соответствуют нормальному закону. Распределения yi имеют средние значения , совпадающие с точным значением функции axi + b. Это предположение иллюстрирует рис.8.4.

Рис.8.4. Иллюстрация модели метода наименьших квадратов.

Распределение плотности вероятности величины yi вокруг точного значения axi + b задает выражение:

Плотность вероятности реализации полученных экспериментальных данных L (y1, y2, ……., yn), что называется функцией правдоподобия, определяют через произведение плотностей вероятностей распределений отдельных измерений, так как распределения yi независимы:

(8.4)

Натуральный логарифм этой функции:

.

Оценкам a, b, s2 будет правильным считать значения, при которых L и lnL максимальные, т. е. реализуется самая вероятность получения набора экспериментальных данных. Экстремум функции lnL находят дифференцированием:

После дифференцирования система уравнений По искомых параметров примет вид:

,

, (8.5)

.

Два первых уравнения в (8.5) есть не что иное, как условие минимума выражения,

(8.6)

Составленного из суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от точной линейной зависимости, в связи с чем описываемый метод и получил название метода наименьших квадратов. Решив (8.5), находим

(8.7)

Согласно выводам математической статистики, для получения несмещенной относительно точного значения оценки дисперсии решение, найденное с (8.5), необходимо домножить на

(8.8)

Оценим теперь дисперсии параметров. Преобразуем выражения для a:

, где .

После преобразования видно, что a получается как линейная комбинация взаимно независимых величин yj, потому что коэффициенты kj заданы точно — согласно пункту 1 предположений о статистике исследуемых величин. Следовательно, параметр a распределен нормально, а его дисперсия sa2являе собой линейную комбинацию дисперсий величин yj с коэффициентами kj2 — это свойство добавления нормальных распределений уже встречалась при рассмотрении погрешностей косвенных измерений.

. (8.9)

Преобразуем выражения для b:

.

Параметр b также нормально распределен. Его дисперсия:

.

С (8.9) выразим s второй подставим в предыдущее выражение:

,.(8.10)